W=W(a1, а2, .; Y1, Y2, .; х1, х2, .).

Если бы условия Y1, У2, . были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение х1, х2, ., при кото­ром он максимизируется. Беда в том, что параметры Y1,Y2, . нам не­известны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффек­тивности W при любом решении. Тем не менее задача выбора решения по-прежнему стоит перед нами. Ее можно сформулировать так:

При заданных условиях а1, а2,…, с учетом неизвестных факторов Y1, y2, . найти такие элементы решения х1, х2, ., которые по воз­можности обращали бы в максимум показатель эффективности W.

Это — уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка «по возможности»). Наличие неизвест­ных факторов Y1, Y2, . переводит нашу задачу в другую категорию' она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределен­ности.

Давайте будем честны: неопределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возмож­ности, так же успешно организовать ее, как мы это сделали бы, если бы располагали большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело — сообщить своему решению в наи­большей возможной мере черты разумности. Решение, принятое в ус­ловиях неопределенности, но на основе математических расчетов, бу­дет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром один из вид­ных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математичес­кие методы исследования операций» дает своему предмету следую­щее ироническое определение:

«Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности встречают­ся нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес че­модана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия а1, а2, .). Погода в районах путе­шествия заранее неизвестна (условия Y1, Y2, .). Спрашивается, ка­кие предметы одежды (х1, х2, .) следует взять с собой?

Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные дан­ные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года). Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны быть предпосланы математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной мере, черты разумности.

Применяемые при этом методы существенно зависят от того, ка­кова природа неизвестных факторов Y1, Y2,…и какими ориентиро­вочными сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов является слу­чай, когда неизвестные факторы Y1, Y2,…представляют собой слу­чайные величины (или же случайные функции), о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем работу железнодорожной сортировочной станции, стремясь оптимизировать процесс обслужива­ния прибывающих на эту станцию грузовых поездов. Заранее неизвест­ны ни точные моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в каж­дом поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все эти ха­рактеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых (и их совокупности) может быть определен по имеющимся данным обычными методами математи­ческой статистики.

Аналогично, в каждой военной операции присутствуют случай­ные факторы, связанные с рассеиванием снарядов, со случайностью моментов обнаружения целей и т. п. В принципе все эти факторы могут быть изучены методами теории вероятностей, и для них могут быть по­лучены законы распределения (или, по крайней мере, числовые харак­теристики).

В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие в опера­ции — Y1, Y2,…. — являются обычными случайными величинами (или случайными функциями), распределение которых, хотя бы ориен­тировочно, известно, для оптимизации решения может быть применен один из двух приемов:

— искусственное сведение к детерминированной схеме;

— «оптимизация в среднем».

Остановимся более подробно на каждом из этих приемов. Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятност­ная картина явления приближенно заменяется детерминированной. Для этого все участвующие в задаче случайные факторы Y1, Y2,…. приближенно заменяются не случайными (как правило, их математи­ческими ожиданиями).

Этот прием применяется по преимуществу в грубых, ориентиро­вочных расчетах, когда диапазон случайных изменений величин Y1, Y2,…. сравнительно мал, т. е. они без большой натяжки могут рас­сматриваться как не случайные. Заметим, что тот же прием замены случайных величин их математическими ожиданиями может успешно применяться и в случаях, когда величины Y1, Y2,…. обладают боль­шим разбросом, но показатель эффективности W зависит от них ли­нейно (или почти линейно).

Второй прием («оптимизация в среднем»), более сложный, при­меняется, когда случайность величин Y1, Y2,…. весьма существенна и замена каждой из них ее математическим ожиданием может привес­ти к большим ошибкам.

Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эф­фективности W существенно зависит от случайных факторов (будем для простоты считать их случайными величинами) Y1, Y2,….; допус­тим, что нам известно распределение этих факторов, скажем, плот­ность распределения f (Y1, Y2,…). Предположим, что операция выпол­няется много раз, причем условия Y1, Y2,… меняются от раза к разу случайным образом. Какое решение х1, х2, . следует выбрать? Очевидно, то, при котором операция в среднем будет наиболее эффективна, т. е. математическое ожидание показателя эффектив­ности W будет максимально. Таким образом, нужно выбирать такое решение X1, Х2, . , при котором обращается в максимум математиче­ское ожидание показателя эффективности:

W=M[W}==

== …. W(a1, a2,…; y1,y2,…; x1,x2…) (y1,y2, .) dy1dy2….

Такую оптимизацию мы будем называть «оптимизацией в сред­нем».

А как же с элементом неопределенности? Конечно, в какой-то ме­ре он сохраняется. Успешность каждой отдельной операции, осущест­вляемой при случайных, заранее неизвестных значениях Y1, Y2,… может сильно отличаться от ожидаемой средней, как в большую, так, к сожалению, и в меньшую сторону. При многократном осуществлении операции эти различия, в среднем, сглаживаются; однако, нередко данный способ оптимизации решения, за неимением лучшего, применяется и тогда, когда операция осуществляется всего несколько раз или даже один раз. Тогда надо считаться с возможностью неприят­ных неожиданностей в каждом отдельном случае. Утешением нам мо­жет служить мысль о том, что «оптимизация в среднем» все же лучше, чем выбор решения без всяких обоснований. Применяя этот прием к многочисленным (хотя бы и различным) операциям, все же мы в сред­нем выигрываем больше, чем если бы совсем не пользовались расчетом.