Пример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве опре­деленного вида товаров. Показатель эффективности—количество (или среднее количество) сэкономленных средств.

Во всех рассмотренных примерах показатель эффективности, ка­ков бы он ни был, требовалось обратить в максимум («чем больше, тем лучше»). Вообще, это не обязательно: в исследовании операций часто пользуются показателями, которые требуется обратить не в максимум, а в минимум («чем меньше, тем лучше»). Например, в примере 4 можно было бы в качестве показателя эффективности взять «вероятность тоге, что появившийся самолет не будет обнаружен» — этот показатель же­лательно сделать как можно меньше. В примере 5 за показатель эф­фективности можно было бы принять «среднее число сбоев за сутки», которое желательно минимизировать. Если оценивается какая-то система, обеспечивающая наведение снаряда на цель, то в качестве по­казателя эффективности можно выбрать среднее значение «промаха» снаряда (расстояния от траектории до центра цели), которое желательно сделать как можно меньше. Наряд средств, выделяемых на выполнение какой-либо задачи, тоже желательно сделать минимальным, равно как и стоимость предпринимаемой системы мероприятий. Таким образом, во многих задачах исследования операций разумное решение должно обеспечивать не максимум, а минимум некоторого показателя.

Очевидно, что случай, когда показатель эффективности W надо обратить в минимум, легко сводится к задаче максимизации (для этого достаточно, например, изменить знак величины W). Поэтому в даль­нейшем, рассматривая в общем виде задачу исследования операций, мы будем для простоты говорить только о случае, когда W требуется об­ратить в м а к с и м у м. Что касается практических конкретных за­дач, то мы будем пользоваться как показателями эффективности, кото­рые требуется максимизировать, так и теми, которые требуется мини­мизировать.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется построить ту или другую математическую модель явления. Me составляет исключения и исследование опе­раций. При построении математической модели явление (в нашем слу­чае — операция) каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. В результате устанавливаются количественные связи между условиями операции, параметрами решения и исходом операции — показателем эффективности (или показателями, если их в данной задаче несколько).

Чем удачнее подобрана математическая модель, тем лучше она отражает характерные черты явления, тем успешнее будет исследова­ние и полезнее — вытекающие из него рекомендации.

Общих способов построения математических моделей не сущест­вует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и задачи научного исследования, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные.

Требования к модели противоречивы. С одной стороны, она долж­на быть достаточно полной, т. е. в ней должны быть учтены все важные факторы, от которых существенно зависит исход операции. С дру­гой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было установить обозримые (желательно— аналитические) зависимости между входящими в нее параметрами. Модель не должна быть «засорена» множеством мелких, второстепенных факторов — их учет усложняет математический анализ и делает результаты исследо­вания трудно обозримыми.

Одним словом, искусство составлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая - утонуть в подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая - слишком огрубить явление («выплеснуть из ванны вместе с водой и ре­бенка»). В сложных случаях, когда построение модели вызывает наи­большее сомнение, полезным оказывается своеобразный «спор моделей», когда одно и то же явление исследуется на нескольких моделях. Если научные выводы и рекомендации от модели к модели меняются мало, это — серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Характерным для сложных задач исследования операций являет­ся также повторное обращение к модели: после того, как первый цикл исследований выполнен, возвращаются снова к модели и вносят в нее необходимые коррективы.

Построение математической модели — наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько в математике, сколько в существе моделируемых явлений. Однако раз созданная удачная модель может найти применение и далеко за пределами того круга явлений, для которого она перво­начально создавалась. Так, например, математические модели массо­вого обслуживания нашли широкое применение в целом ряде облас­тей, далеких, с первого взгляда, от массового обслуживания (надеж­ность технических устройств, организация автоматизированного про­изводства, задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначаль­но предназначенные для описания динамики развития биологических популяций, находят широкое применение при описании боевых дейст­вий и наоборот — боевые модели с успехом применяются в биологии.

Математические модели, применяемые в настоящее время в зада­чах исследования операций, можно грубо подразделить на два класса:

а н а л и т и ч е с к и е и с т а т и с т и ч е с к и е.

Для первых характерно установление формульных, аналитиче­ских зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Чтобы такое аналитическое описание операции было возможно, как правило, нужно принять те или иные допущения или упрощения. С помощью аналити­ческих моделей удается с удовлетворительной точностью описать только сравнительно простые операции, где число взаимодействующих элементов не слишком велико. В операциях же большого масштаба, сложных, в которых переплетается действие огромного количества факторов, в том числе и случайных, на первый план выходит метод статистического моделирования. Он состоит в том, что процесс развития операции как бы «копируется» на вычислительной машине, со всеми сопровождающими его случайностями. Всякий раз, когда в ход опе­рации вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние учи­тывается посредством «розыгрыша», напоминающего бросание жребия. В результате многократного повторения такой процедуры удается по­лучить интересующие нас характеристики исхода операции с любой степенью точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими то преиму­щество, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу и осмыслению. Более гру­бые аналитические модели описывают явление лишь приближенно, зато результаты более наглядны и отчетливее отражают присущие яв­лению основные закономерности. Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей: