Индивидуальные различия проявляются достаточно ярко и по другому показателю — широте оперирования. С помощью этого показателя было обнаружено, что одни ученики легче оперируют пространственными соотношениями в пределах однородных изображений (например, рисунка, чертежа или схемы), другие легко и свободно оперируют разнотипными изображениями, что проявляется в переходе от одного изображения к другому: от наглядного к проекционному, условно-схематическому и обратно.

Интересные индивидуальные различия были выявлены и по показателю, отражающему полноту пространственного образа, которая характеризуется наличием в образе основных пространственных свойств, их динамики. Наиболее устойчивые индивидуальные различия проявляются при установлении пространственных соотношений, в то время как при оперировании формой и величиной они не выступают столь же ярко.

Индивидуальные различия были выявлены также и по показателю, который может быть назван условно вербальным или наглядным. В целом ряде исследований [В.И.Зыкова, 1963; В.А.Крутец-кий, 1968; И.С.Якиманская, 1959 и др.] было показано, что одни учащиеся испытывают трудности при анализе чертежа, другие — при анализе условия задачи, выраженного в словесной форме.

Исследование Г. Микшите, экспериментально подтверждают тот факт, что уровень развития пространственного мышления неотделим от индивидуальных особенностей соотнесений в двух- и трехмерном пространстве. Одни из них непосредственно связаны с особенностями восприятия, другие — с характером создания пространственных образов, третьи — с оперированием ими в процессе решения задач. Качественное своеобразие деятельности представливания на разных уровнях ее развития в процессе обучения не только не нивелируется, но, наоборот, проявляется весьма отчетливо. Это находит выражение в индивидуальном своеобразии способов представливания, в склонностях учащихся и их реальных достижениях в овладении соответствующими учебными предметами.

Таким образом пространственное мышление — психическое образование, сложное по своей структуре и функциям. Уровень развития пространственного мышления зависит от гармонического соотношения различных элементов этой структуры. Неравномерность их развития определяет индивидуальные различия в структуре пространственного мышления.

Эксперименты, проведенные в ряде школ Москвы (1999 - 2000 г.), показали, что учащиеся 8-9 классов дифференцируются по 3 типам довольно ярко. Одни учащиеся не справляются в достаточной мере даже с заданием первого типа («преобразования, приводящие к изменению пространственного положения образа»). Другие хорошо справившись с первым заданий, затрудняются в выполнении второго типа («преобразования, изменяющие структуру образа «); третьи успешно выполняют первое и второе, но «застревают» на третьем задании («длительное и неоднократное выполнение преобразований первых двух типов») и, наконец, четвертые — выполняют задания всех трех типов. Результаты выполнения всех типов заданий помогали оценить уровень развития пространственного мышления школьников. При этом учитывалась не только общая продуктивность выполнения заданий, но и определенные — количественные и качественные — критерии процесса их выполнения. [2] Данные различия зависят не только от уровня подготовки учащихся, но и от его индивидуальных математических способностей.

1.3 Типовые различия в характеристиках компонентов математических способностей

Существование различных типов математических складов ума есть следствие не только индивидуальных и типовых психологических различий между людьми, но и следствие различных требований, которые предъявляют человеку разные разделы математики. Эксперименты на ребятах от 11 до 14 лет показали, что в зависимости от соотношения словесно-логических и наглядно-образных компонентов формируются различные структуры математических способностей, различные математические склады ума, обеспечивающие различными путями успешное выполнение математической деятельности.

Это позволило выделить аналитический тип (аналитический или абстрактно-математический склад ума), геометрический тип (геометрический или образно-математический склад ума) и две модификации гармонического типа (абстрактная и образная модификации гармонического склада ума). Первые два типа должны быть признаны несколько ограниченными, и выражается это в том, что они особенно благоприятны для работы лишь в определенных областях математики. Добиваясь высоких успехов в овладении школьной математикой, представители этих типов тем не менее испытывают некоторые специфические трудности, о которых речь будет идти ниже.

Стоит сразу отметить что при этом, у всех способных к математике школьников хорошо развит словесно-логический компонент, и, речь может идти только о большем или меньшем развитии наглядно-образного компонента. Соответственно можно говорить о преобладании наглядно-образного компонента над словесно-логическим лишь в относительном смысле .

Дадим более подробное описание каждому типу:

a) Аналитический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется явным преобладанием очень хорошо развитого словесно-логического компонента над слабым наглядно-образным. Они легко оперируют отвлеченными схемами, у них нет потребности в наглядных опорах, в использовании предметной или схематической наглядности при решении задач, даже таких, когда данные в задаче математические отношения и зависимости «наталкивают» на наглядные представления.

Представители этого типа не отличаются способностью наглядно-образного представления и в силу этого используют более трудный и сложный логико-аналитический путь решения там, где опора на образ дает гораздо более простое решение. Они очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме, задачи же, выраженные в конкретно-наглядной форме, стараются по возможности переводить в абстрактный план. Операции, связанные с анализом понятий, осуществляются ими легче, чем операции, связанные с анализом геометрической схемы или чертежа.

Пространственные представления у представителей аналитического типа развиты слабо (особенно представления в трех измерениях).

b) Геометрический тип

Мышление представителей этого типа характеризуется очень хорошо развитым наглядно-образным компонентом. В связи с этим условно можно говорить о преобладании его над хорошо развитым словесно-логическим компонентом. Эти учащиеся испытывают потребность в наглядной интерпретации выражения абстрактно математических отношений и зависимостей и демонстрируют большую изобретательность в этом отношении: в этом смысле, условно говоря, образность часто заменяет им логичность. Но если им не удается создать наглядные опоры, использовать предметную или схематическую наглядность при решении задач, то они с трудом оперируют отвлеченными схемами. Они упорно пытаются оперировать наглядными схемами, образами и представлениями даже там, где задача легко решается рассуждением, а использование наглядных опор излишне или затруднено.

Представители геометрического типа отличаются очень хорошим развитием пространственных представлений.