3. Третий подход заключается в построении строгой теории открытых резонаторов, что требует решения дифракционной задачи на элементах резонатора. Хорошие результаты получаются здесь уже в приближении квазиоптики. В этом приближении считается, что размеры резонатора много больше длины волны, а электромагнитное поле близко к чисто поперечному (ТЕМ). Тогда, используя принцип Гюйгенса, получают систему интегральных уравнений, для которых иногда удается найти приближенное аналитическое решение, а иногда приходится использовать машинные расчеты.

Начнем рассмотрение с оптики параксиальных пучков. Под параксиальным понимается луч, составляющий с осью оптической системы достаточно малый угол, такой, что его синус может быть заменен самим углом.

В оптике параксиальных пучков луч характеризуется двумя параметрами: расстоянием от оси системы (x) и углом наклона к той же оси (x’). Эту пару параметров можно представить в виде матрицы . Если матрицаописывает параксиальный луч на входе оптической системы, то матрица параксиального луча на выходе системы выражается через нее следующим соотношением

. (10)

Матрицу называют матрицей передачи. Ее элементы определяют фокусное расстояние f и положение главных плоскостей оптической системы следующим образом

(11)

где h1 и h2 - расстояния главных плоскостей системы от плоскостей входа и выхода.

Знание матрицы передачи позволяет вычислять параметры параксиального луча на выходе системы. Если луч проходит через сложную оптическую систему, состоящую из нескольких оптических элементов, то матрицу передачи такой системы получают путем последовательного перемножения матриц передачи отдельных оптических элементов.

Особое значение для теории открытых резонаторов имеют матрицы передачи для периодической последовательности одинаковых оптических элементов. Если матрица передачи одного элемента

, то матрица передачи п одинаковых оптических элементов. . Эту матрицу можно вычислить с помощью теоремы Сильвестра. Введем угол такой, что Тогда

(13)

Оптические системы, описываемые матрицей Мn, можно разделить на устойчивые и неустойчивые. Устойчивыми будут те системы, в которых после прохождения п элементов все члены матрицы передачи Мп конечны. Это означает, что лучи все время остаются внутри системы и потери относительно невелики. В отличие от этого в неустойчивых, системах значительная энергия световых лучей выводится из системы наружу и потери становятся во много раз выше.

При каких же условиях элементы матрицы Mn конечны, т.е оптическая система устойчива? Очевидно, что если угол, входящий в матрицу Mn, веществен, то конечны и тригонометрические функции, входящие в матрицу, а так как коэффициенты A, В, С, D конечны, то все элементы матрицы Мn конечны.

Условие действительности угла имеет вид [cos ] 1, т. е.

-1< Ѕ (A+D)<1. (14)

При невыполнении условия (14) тригонометрические функции, входящие в (13), переходят в гиперболические, т. е. луч по мере прохождения системы расширяется.

Эти результаты можно применить и к исследованию устойчивости различных открытых резонаторов. В качестве примера рассмотрим открытый резонатор, образованный двумя сферическими зеркалами с радиусами кривизны R1 и R2. Последовательные проходы луча в таком резонаторе можно рассматривать как последовательные прохождения луча через систему линз с фокусными расстояниями f1 и f2 . Сферическое зеркало с радиусом кривизны R фокусирует лучи так же, как тонкая линза с фокусным расстоянием f=R/2. Поэтому последовательным отражениям лучей от сферических зеркал с радиусами кривизны R1 и R2 можно сопоставить прохождение лучом последовательности чередующихся тонких линз с фокусными расстояниями f1= R1 /2 и f2= R2 /2.

Различие состоит в том, что в резонаторе в отличие от последовательности линз лучи многократно пересекают одну и ту же область (между зеркалами). За элемент периодичности в воображаемой последовательности линз можно принять элемент, включающий:

свободное пространство (d), линза (f1), свободное пространство (d), линза (f2). Матрица передачи такого элемента имеет вид:

Условие устойчивости (14) принимает вид –1<-1+2(1-d/R1)(1- d/R2)<1. Вводя обозначение gi=1-d/Ri , проводя очевидные упрощения, получаем условие устойчивости двухзеркальногo резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами с различными радиусами кривизны в виде:

0<g1g2<1. (15)

Отметим, что параметры g1, g2 являются основными для определения свойств открытых резонаторов в рамках геометрической оптики.

Критерий (15) можно применить к любому пустому открытому резонатору, образованному двумя зеркалами. Из него видно, например, что из одних и тех же зеркал в зависимости от расстояния между ними можно создать устойчивый или неустойчивый резонатор.

Если резонатор более сложной конфигурации заполнен средой, то, вычисляя матрицу передачи М и пользуясь условием (14) можно также получить критерий устойчивости конкретной конструкции открытого резонатора и выяснить, устойчива ли она.

Проблема устойчивости — не единственная решаемая для открытых резонаторов в рамках геометрической оптики. Последовательное рассмотрение прохождений лучей в устойчивом открытом резонаторе позволяет выделить области внутри резонатора, где существует световое поле, и решить ряд других вопросов. Однако эти проблемы целесообразнее обсудить на основе решения строгой электродинамической задачи, где учитывают волновую природу лазерного излучения, но влиянием дифракционных эффектов пренебрегают.

В заключение отметим, что вычисляемые в оптике параксиальных пучков матрицы передачи описывают не только распространение параксиальных пучков, но и более сложных гауссовых пучков, которые будут получены и приложены к открытым резонаторам в следующем пункте.

Распространение светового пучка в свободном пространстве

Для решения задачи воспользуемся уравнениями Максвелла и материальными уравнениями