Геометрическим образом 3-куба можно считать 3-х мерный куб. Так как он может быть образован 3-мя способами как пара параллельных граней, то при склеивании он получается в трех экземплярах.

Покрытия булевых функций.

Между кубами различной размерности, входящих в кубический комплекс K(f), существует отношение включения или покрытия. Принято говорить, что куб А меньшей размерности покрывается кубом Б большей размерности, если куб А включается в куб Б. Это означает, что при образовании куба Б хотя бы в одном склеивании учавствует куб А.

Отношение включения (покрытия) между кубами принято обозначать АÌБ. В теории множеств отношение включения связывает между собой некоторое множество и его подмножества.

Для рассмотренного примера отношения включения имеют место между 001Ì0х1; 011Ìx11Ìx1x . любой 1-куб покрывает 2 0-куба, 2-куб - 4 0-куба и 2 1-куба, 3-куб покрывает 8 0-кубов, 12 1-кубов и 6 2-кубов.

Покрытием булевой функции f называется такое подмножество кубов из кубического комплекса K(f), которое покрывает все существенные вершины функции.

В связи с тем, что любому кубу комплекса K(f) можно поставить в соответствие конъюнктивный терм, для любого покрытия можно представить некоторую ДНФ булевой функции.

Частным случаем покрытия булевой функции является кубический комплекс K0(f), покрытие c0(f)=K0(f). Этому покрытию соответствует КДНФ.

Для примера покрытием является также

|0x1

|01x

c1(f)=K1(f)=|x10

|x11

|11x

этому покрытию соответствует ДНФ вида

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

f=x1x3vx1x2vx2x3vx2x3vx1x2 приведенная ДНФ не является минимальной.

В качестве минимальной еще одного покрытия можно использовать множество максимальных кубов

|0x1

c2(f)=|x1x

Действительно, куб 0х1 покрывает существенные вершины 0х1É(001, 011), а куб x1xÉ(010, 011, 110, 111).

Множество максимальных кубов булевой функции всегда является ее покрытием.

Покрытие c2(f) соответствует ДНФ вида х1х3vx2. Эта ДНФ является минимальной. Покрытие булевой функции, которое соответствует минимальной ДНФ называется минимальным покрытием.

Минимальное покрытие должно состоять только из максимальных кубов.

В частном случае все множество максимальных кубов является минимальным покрытием. Это справедливо для нашего примера. В общем случае множество максимальных кубов является избыточным и для получения минимального покрытия достаточно взять некоторое его подмножество.

Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)

(f=1)

|000 (1) |00x (1-2)

|001 (2) |x00 (1-3)

K0(f)=|100 (3) K1(f)=|1x0 (3-4)

|110 (4) |11x (4-5)

|111 (5)

Для данного примера множество максимальных кубов совпадает с комплексом K1(f). Z(f)=K1(f)

Минимальными покрытиями являются

|00x |00x

с1(f)=|11x c2(f)=|11x

|x00 |1x0

Из анализа покрытия существенных вершин максимальными кубами из комплекса K1(f) следует :

1) Куб 00х должен обязательно включаться в покрытие, так как только он покрывает существенную вершину 001, аналогично 11х покрывает 111.

Множество максимальных кубов без которых не может быть образовано покрытие булевой функции называется ядром покрытия T(f)=|00x

|11x

2) Так как ядром покрытия кроме существенных вершин 001 и 111 покрываются также существенные вершины 000 и 110, то не покрытой ядром остается только существенная вершина 100. Для ее покрытия достаточно взять 1 из оставшихся максимальных кубов (х00 или 1х0).

Выводы :

Задача получения минимальной ДНФ сводится к задаче получения минимального покрытия.

Получение минимального покрытия реализуется в таком порядке : а) Находится множество максимальных кубов б) Выделяется ядро покрытия в) Из максимальных кубов, не вошедших в ядро, выбирается такое минимальное подмножество, которое покрывает существенные вершины, не покрытые ядром.

Цена покрытия.

Цена r-куба представляет собой количество несвязанных координат. Sr=n*r

Для оценки качества покрытия используют два вида цены покрытия :

m

1) Sa=åSrNr, где Nr - количество r-кубов, входящих в по-

r=0

крытие, m - максимальная размерность куба. Цена Sa представляет собой сумму цен кубов, входящих в покрытие.

2) Sb=Sa+k, где k - количество кубов, входящих в покрытие

m m

Sa =å(n-r) Nr ; Sb=å(n-r)(Nr+1)

r=0 r=0

Под минимальным покрытием понимают покрытие, обладающее минимальной ценой Sa по сравнению с любым другим покрытием этой функции.

Можно показать, что покрытие, обладающее минимальной ценой Sa обладает также и минимальной ценой Sb.

Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)

(f=1)

C0(f)=K0(f) ; Sa=5*3=15 ; Sb=Sa+5=20

C1(f)=K1(f) ; Sa=4*2=8 ; Sb=Sa+4=12

Cmin(f) : Sa=3*2=6 ; Sb=9

Цена покрытия Sa представляет собой количество букв, входящих в ДНФ, которая соответствует данному покрытию.

Цена Sb представляет для ДНФ сумму количества букв и количества термов.

Цена покрытия хорошо согласуется с ценой схемы по Квайну, которая строится по нормальной форме, соответствующей этому покрытию.

Для приведенной схемы цена по Квайну SQ=9=Sb (9-число входов).

В принципе, между SQ и ценами Sa и Sb существует соотношение Sa £ SQ £ Sb Это неравенство имеет место при следующих допущениях по комбинационной схеме :

1) Схема строится по нормальной форме (ДНФ или КНФ).

2) Схема строится на элементах булевого базиса (И, ИЛИ).

3) На входы схемы можно подавать как прямые, так и инверсные значения входных переменных, представляющие собой значения аргументов булевой функции (схема с парафазными входами). Элементы НЕ (инвертора в схеме отсутствуют.

Нулевое покрытие булевой функции и получение минимальной КНФ.

Выше было рассмотрено покрытие булевой функции на наборах аргументов для которых функция равна единице.

Такие покрытия можно назвать единичными. Наряду с единичными покрытиями существуют и нулевые, для которых покрываются наборы аргументов, на которых функция равна нулю, то есть покрытие реализуется для существенных вершин, но не самой функции, а ее отрицания (инверсии).

Нулевое покрытие строится также как и единичное, но только для отрицания исходной функции.

f3(x)=V(0,1,4,6,7) f3(x)=&(2,3,5)

(f=1) (f=0) _ |010

K0( f )=|011

_ _ |101

C0( f )= K0( f ) Sa=9 Sb=12

_ _ _

K1( f )=|01x Z( f )=Cmin( f )=|01x Sa=5 Sb=7

|101

Цена минимального нулевого покрытия оказалась меньше цены минимального единичного покрытия.

Так как заранее предсказать невозможно, какое из минимальных покрытий данной функции, единичное или нулевое, будет иметь меньшую цену, то для построения схемы, обладающей минимальной ценой по Квайну, целесообразно решать задачу минимзации в отношении обоих покрытий.

Импликанты булевой функции.