.

Используя понятие конечных разностей выведем интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов

7.4.2 Интерполяционная формула Ньютона

Полином -й степени (т.е. имеющий корней)

перепишем в виде

где — узлы интерполяции.

Т.к. полином выбирается таким образом, чтобы — значения заданной функции совпадали с — значениями интерполирующей функции в узлах, то, полагая найдем

1. Полагая найдем

2. Полагая найдем

отсюда

3. Полагая найдем

отсюда и т.д.

В общем случае и

отсюда

Подставив вычисленные значения в выражение для многочлена, получим

(7.15)

Полученное выражение называется интерполяционной формулой Ньютона для равноотстоящих узлов.

7.5 Погрешность многочленной интерполяции

1. Оценочная формула погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа записывается следующим образом:

(7.16)

где — максимальное значение производной от интерполирующей функции на отрезке (считаем, что функция дифференцируема на отрезке раз).

2. Погрешность при интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формуле:

(7.17)

7.6 Пример вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа

Имеется таблица значений функции

Требуется получить значение этой функции в точке , пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа. Для составления программы вычисления одного значения интерполяционного многочлена Лагранжа на ЭВМ воспользуемся формулой (7.9).

ввод N, Q

ввод таблицы x, y

S=0

начало цикла по I от 1 до N

L=1

начало цикла по J от 1 до N