ИнтерполяцияРефераты >> Математика >> Интерполяция
7.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа для равностоящих узлов
Пусть на отрезке задана система равноотстоящих узлов которыми отрезок делится на равных частей
где
В этом случае интерполяционный многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид.
Обозначим , где . Отсюда:
Т.е. в общем случае:
(7.10)
Используя (7.10) и принятое обозначение получим:
(7.11)
Учитывая, что найдем:
(7.12)
Заметим, что в (7.12) ровно строк (-я строка отсутствует); причем численные значения первых строк положительны, а остальные — отрицательны. Используя (7.12), получим:
т.е.
(7.13)
С учетом (7.11) и (7.13) формула Лагранжа для равноотстоящих
узлов примет вид:
(7.14)
7.4 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
На практике часто встречается случай, когда интерполяционная функция подбирается для таблиц с равноотстоящими значениями аргумента Рассмотрим метод построения интерполирующей функции, основанный на вычислении конечных разностей.
7.4.1 Конечные разности
Назовем конечными разностями разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции:
где Полученные конечные разности будем называть разностями первого порядка. Из разностей первого порядка получим разности второго порядка:
где
Повторяя процедуру, получим конечные разности третьего порядка:
Для конечных разностей -го порядка:
В результате получим таблицу конечных разностей: