Логика. Формальная или диалектическая?
Здесь мы рассмотрим два классических примера, которые если уж и не убедят читателя в нашем утверждении, то, по крайней мере, заставят сомневаться в безоговорочной правоте утверждений Аристотеля.
Но чтобы основательно переломить формальнологическую позицию читателя, мы покажем, что закон тождества, постоянно применяемый формальной логикой, в действительности доказывается диалектической логикой, т. е. суть становление диалектики, а отнюдь не формальной логики.
А = А. Чтобы убедиться, что А = А, необходимо А наложить само на себя, А должно совпасть с собой. Но прежде, чем А наложить на себя самою, необходимо её отделить, оторвать от самой себя (ибо как иначе возможно произвести наложение?). Оторвав А от самоё себя, мы видим, что А здесь одновременно не здесь. Противоречие! Как разрешается это противоречие? Возратом к себе, совпадением А с самоей собой.
Наглядно ход нашего суждения представим в сжатой форме:
А - не-А - не-не-А - А. То есть ход нашего суждения есть не что иное, как становление закона тождества через отрицание и отрицание отрицания. Отрицание же есть не что иное, как практика человечества. Когда мы непосредственно наблюдаем закон тождества как А = А, то мы его наблюдаем уже в снятом (aufheben) отрицании, испытанном виде. Мы не осознаём этого, но мысленно, идеально, мгновенно (вне "пространств(а) и времен(и)"[3.280]) мы это проделываем. Мысленно, мгновенно мы проделали . -не . - не-не . -, ибо это есть не что иное, как "практика человека, миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики. Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения"[9.198].
Теперь мы рассмотрим знаменитое доказательство теоремы Пифагора и решение легендарной задачи Архимеда, чтобы видеть, как гений позволяет ""перейти границу"" [9.231].
"Теорема Пифагора
Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а, b и с (черт.1).
Черт. 1
Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов соответственно равны а2, b2 и с2. Докажем, что с2 = а2 + b2.
Построим два квадрата МКОР и М'К'О'Р' (черт.2, 3), приняв
черт.2 черт.3
за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоугольного треугольника АВС. Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 2 и 3, мы увидим, что квадрат МКОР разбился на два квадрата с площадями а2 и b2 и четыре равных прямоугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М'К'О'Р' разбился на четырехугольник (он на чертеже 3 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых также равен треугольнику АВС. Заштрихованный четырехугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АВС, т.е. с), а углы - прямые (< 1 + < 2 = 90°, откуда < 3 = 90°).
Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 2 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырех равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М'К'О'Р', равного квадрату МКОР, без суммы площадей четырех таких же треугольников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Получаем формулу с2 = а2 + b2, где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.
Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:
Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов"[10.115-116].
Доказательство теоремы Пифагора является одним из тех шедевров гения человечества, который своей простотой, красотой обвораживает сердце и ум, приводит в экстаз восхищения. Такие шедевры притягательны не тем, что открывают, а, наоборот, что обнаруживают до осязания загадочность гениальности самой по себе и именно эта загадочность гениальности вновь и вновь манит к себе, будоражит, пьянит.
С анализа доказательства теоремы Пифагора мы и начнем непосредственно, конкретно убеждаться, видеть (see - видеть, понимать) правоту гения Гегеля, что вещи подчиняются логике Гегеля, вернее, наоборот, что логика Гегеля следует за развитием вещей.
До сих пор математики убеждены, что их открытия, доказательства, или доказательство открытий, опирается на основные законы формальной логики, или исходят из них как из принципа, "само(го) достоверно(го) из всех начал"[8.125]. Но это убеждение математиков на деле является их с у щ е с т в е н н ы м з а б л у ж д е н и е м. При доказательстве или решении они (математики, ученые) незаметно для всех, в том числе и для себя, позволяют себе ""перейти границу""[9.231], т. е. непременно нарушают категорический запрет формальной логики, взрывают ее принцип. "Они не сознают этого, но они это делают"[11.84].
Еще раз внимательно рассматриваем математическое доказательство теоремы Пифагора и анализируем его, мы на конкретном окунаемся в "бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отношений etc . бесконечный процесс углубления познания человеком вещи, явлений, процессов и т. д. от явлений к сущности и от менее глубокой к более глубокой сущности"[9.203].
Мы не сомневаемся в доказательстве теоремы Пифагора и его выводе, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Мы категорически, существенно не согласны с тем, что математическое доказательство теоремы Пифагора опирается на основные законы формальной логики. В этом суть! Мы сомневаемся в последовательности хода доказательства ( и не только теоремы Пифагора) математиков. Они скрыли, утаили от нас мелочь, но мелочь существенную, точнее, они скрали, скостили от нас (и более всего от себя) существенный отрезок доказательства (фактически упустили суть дела).
Вопрос первый:
Откуда у математиков появились "два квадрата МКОР и М'К'О'Р'" [10.115] (черт. 2 и 3), или какова природа этих двух квадратов, что нас вынуждает их строить?
Вопрос второй:
И почему вдруг(!), неожиданно, мимоходом сообщается, что квадраты МКОР и М'К'О'Р' "равн(ы)"[10.115]?
Откуда взялось равенство квадратов МКОР и М'К'О'Р'?
Ответ математика на последний наш вопрос:
" .Сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 2 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырех равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе ( на чертеже 3 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М'К'О'Р', равного квадрату МКОР ."[10.116].
Стоп!
А откуда равенство квадратов М'K'О'P' и МКОР?