В то время как данной трехмерной трансляционной группе (), действующей на точку, отвечает одна единственная, строго опреде­ленная пространственная решетка, данная пространственная решетка может быть обракована бесконечным множеством трехмерных транс­ляционных групп (), векторов, подчиняющихся условию

, (3)

т. е. представляющих собой векторную сумму или разность исходных пли кратных им векторов (т, n, р — целые числа).

Рис. 5. Одно-, дву- и трехкратнопримитивные паралле­лограммы

Рис. 6. Трехмерная трансля­ционная группа. Образование пространственной решетки

Очевидно, что в пространственной решетке можно выбрать транс­ляционные векторы, а значит и параллелепипеды повторяемости

различно.

Параллелепипеды, внутри которых нет узлов, называются одно-кратнопримитивными (или простыми): они имеют 8 узлов (вершин), каждый из которых принадлежит одновременно 8 соседним паралле­лепипедам, а каждому данному — на 1/8. Таким образом, п = (1/8) *8 =8/8 = 1.

Если внутри параллелепипеда имеются еще т узлов, его кратность n=(8/8)+ т = т + 1.(Более сложные случаи рассматриваются ниже.)

Такие параллелепипеды называются соответственно двукратно-, трехкратно-, n-кратнопримитивными. Если объем, занимаемый N узлами пространственной решетки, равен V, то объем, занимаемый одним узлом, равен

(4)

двумя узлами — 2, и т. д.

Иначе говоря, объемы элементарных параллелепипедов данной пространственной решетки относятся, как их кратности. Если по­следние одинаковы, то объемы параллелепипедов равны.

Тогда как кратчайшие расстояния между узлами решетки опре­деляются периодами идентичности, межплоскостные расстояния в ре­шетке зависят от выбора плоскостей (сеток). Это отчетливо видно на рис. 4, который можно представить как проекцию трехмерной пространственной решетки с межплоскостными расстояниями d', d", d'" .

Рис. 7. Различные способы образования пространствен­ной решетки

Образование пространственных решеток можно представить себе как результат действия: а) трехмерной трансляционной группы на элементарную ячейку (рис. 1); б) трехмерной трансляционной группы на кристаллографическую точку (рис. 6, 7, а); в) дву­мерной трансляционной группы на трансляционный ряд (рис. 7, b) и г) трансляционного вектора на трансляционную двумерную сетку (рис. 7, с). Последние варианты целесообразны при рассмотрении образования кристаллических решеток из цепей, сеток и других структурных элементов. 1

О сложных пространственных решетках.Рассмотрим простые, примитивные, обозначаемые буквой Р решетки, образованные в на­шем примере трансляционной группой () кубической сингонии

(рис. 8, а).

Если мысленно вдвинуть две таких решетки одну в другую так, что узлы одной из них окажутся в центре элементарных ячеек другой, | мы получим объемноцентрированные элементарные ячейки (рис. 8, b). Такие решетки и элементарные ячейки обозначаются буквой I. Вдвинув в исходную Р-решетку вторую так, чтобы две вершины вто­рой центрировали две противоположные грани элементарной ячейки первой решетки, получим кубическую двугранецентрированную эле­ментарную ячейку (рис. 8, b). Если центрированы передняя и зад­няя грани, ячейка обозначается А, если центрированы левая и правая грани (как на рис. 8, b) — буквой B, если центрированы верхняя и нижняя грани — буквой С. Если таким способом центрируются все грани куба, то мы получаем F-гранецентрированную элементар­ную ячейку, а путем ее трансляции и решетку (рис. 8, с).

Рис. 8. Образование кубических

a — объемоцентрированной, b — двугранецентрированной и с — всесторонне гранецентрированных элементарных ячеек (и решеток)

Подсчитаем кратность элементарной ячейки, пользуясь уже зна­комыми читателю дробями, числитель которых показывает, сколько узлов (кристаллографических точек) в элементарной ячейке, а зна­менатель — какому количеству элементарных ячеек каждый данный узел принадлежит. Такие дроби будем называть структурными дро­бями.

Точка в вершине принадлежит 8 элементарным ячейкам; на ребре между вершинами — 4 элементарным ячейкам; на грани внутри ее периметра — 2 элементарным ячейкам; внутри элементарной ячейки — только ей одной. Поэтому кратность сложных элементарных ячеек равна сумме структурных дробей:

для I-ячейки

для F-ячейки

Сложную решетку можно разбить на примитивные элементарные ячейки. В таких решетках примитивные элементарные ячейки иногда

и-

Рис. 9. Выбор различных тетрагональных элементарных ячеек в одной и той же пространственной тетрагональной

решетке:

а — переход от С-двугранецентрированной к примитивной, b — пе­реходот всесторонне гранецентрированной к объемноцентрированной

находятся в прямом и наглядном соответствии с симметрией самой решетки, иногда не находятся. Примером первого случая является

Рис. 10. Выбор ромбоэдрических элементар­ных ячеек для описания кубических простран­ственных решеток и переход к ромбоэдрической решетке

тетрагональная С-ячейка, соответственно F-ячейка. Вы­брав вместо трансляционных групп () трансляционные группы (), как показано на рис. 9, мы получаем тетрагональную однократнопримитивную Р-ячейку, соответственно I-ячейку. Примером второго случая является замена кубических I- и F-ячеек ромбоэдрическими элементарными ячейками с углами = 109o28 (рис. 10, а) в первом случае и 60° (рис. 10, b) — во втором. Очевидно, однако, что описы­вать n-кратнопримитивные кубические решетки однократно-