Пространственная решетка. Понятие об элементарной ячейке. Уже давно в кристаллографии наметилась тенденция объяснять симметрию формы и свойства кристаллов тем, что кристалл слагается из более мелких «кирпичиков», несущих в себе все элементы его симметрии. Мысленное дробление его приводит, в конце концов, к некоторому элементарному многограннику (рис. 1, а), сохраняющему все элементы симметрии и структуры исходного кристалла и теряющему эти свойства при дальнейшем дроблении. Однако теория впоследствии эволюционировала к представлениям о пространственной решетке как бесконечной системе узлов, составляющих бесконечные ряды плоских сеток (рис. 1, b), что позволило создать теорию кристаллической структуры в ее современном виде.

Рис. 1. Пространственная решетка и элементарная ячейка

Пространственная решетка состоит из системы узлов — кристаллографических точек. Следует различать понятия «пространственная решетка» и «кристаллическая решетка» (или «структура кристалла»), предусматривающие в первом случае определенную совокупность кристаллографических, а во втором — материальных точек. Трансляция. Представим себе бесконечный ряд кристаллографических точек, расположенных по прямой линии на одном и том же расстоянии а одна от другой, определяемом величиной и направлением бивектора (рис. 2). Операция бесконечного количества смещений в направлении и на расстояние , приводящая к образованию из каждой данной точки бесконечного ряда точек, называется трансляцией. Все возникающие точки имеют параллельно одинаковое расположение и параллельно одинаковое окружение и называются параллельно равными, или идентичными.

Расстояние а (скаляр) между двумя ближайшими идентичными точками ряда (вдоль вектора) называется периодом идентичности.

Соответствующий трансляции элемент симметрии дисконтинуума называется переносом, трансляционным вектором (или бивектором). Его можно было бы назвать вектором идентичности.

При отсутствии бесконечного ряда точек трансляция не имеет места.

Рис. 2. Трансляционный ряд

Рис. 3. Двумерная трансляционная группа. Образование плоской сетки

Двумерная трансляционная группа. Представим себе теперь плоскую сетку, состоящую из бесконечной совокупности узлов (точек), возникающих друг из друга в результате трансляций ив одном направлении (параллельно оси х) на расстояние а и в другом (параллельном оси у) — на расстояние b (рис. 3).

Если иобозначают соответствующие трансляции, то их пространственная совокупность () называется двумерной трансляционной группой.

Скалярные величины — кратчайшие расстояния а и соответственно b — между ближайшими узлами сетки являются ее периодами идентичности (в направлении осей х и соответственно у).

Осуществив сначала смещение , затем мы приведем точку к совмещению с другой точкой той же сетки (пунктиром показаны смещения ++и -+). В равной мере, подвергнув все точки нашей бесконечной плоской сетки такому смещению, мы как бы соместим ее с исходным положением.

Данной трансляционной группе, действующей на точку, отвечает

одна определенная бесконечная плоская сетка. (Напротив, данная

плоская сетка может быть образована бесконечным множеством трансляционных векторов, удовлетворяющих условию

(1)

где т и п — целые числа.)

Очевидно, что чем меньше период идентичности в направлении данной оси, тем плотнее сидят узлы в данном направлении (рис. 4). Параллелограммы (ячейки плоской сетки), имеющие узлы решетки только в вершинах (рис. 4), называются однократнопримитивными или просто примитивными. Так как каждый узел принадлежит од­новременно четырем соседним параллелограммам, а каждому данному на 1/4, то каждый такой параллелограмм содержит 1/4 *4 = 1 узел.

Рис. 4. Величины межплоскостных расстояний и плотность узлов

Из рис. 4 очевидно также, что плоскую сетку можно предста­вить себе как построенную из разных примитивных параллелограм­мов, имеющих одинаковое основание и высоту, а следовательно, одинаковую площадь. С уменьше­нием расстояний d', d", d'" ме­жду рядами увеличивается рас­стояние между точками в пределах ряда, т. е. уменьшается плот­ность узлов. В зависимости от выбора тран­сляционной группы, элементарный параллелограмм может содержать внутри еще 1 узел, а всего 2 узла; внутри еще 2 узла, а всего 3 узла и т. д. (рис. 5). Если внутри параллелограмма имеется т узлов, его кратность п = т + 1. Такие параллелограммы называются двукратно-, трехкратно- ., соответ­ственно n-кратнопримитивными.

Так как данная площадь сетки F см2 содержит N узлов, то на один узел приходится площадь

f=, (2)(1.3)

на два узла — площадь 2f и т. д. Иначе говоря: площади элементарных параллелограммов данной плоской сетки относятся как их кpamности. Если последние одинаковы, то площади равны.

Трехмерная трансляционная группа. Пространственная совокупность трех трансляций (), параллельных осям х, у, z, называется трехмерной трансляционной группой (рис. 6).

Бесконечная совокупность точек, возникающих при действии на данную точку трехмерной трансляционной группы (), называется пространственной решеткой, а расстояния а, b и с мeжду идентичными точками (узлами решетки) — периодами идентичности пространственной решетки.

Элементарный параллелепипед — элементарная ячейка простран­ственной решетки, определяемой трансляционной группой () , — часто называется параллелепипедом повторяемости.