Определив распределение поля за входным транспарантом c ис-пользованием (5.2), поле во входной плоскости фурье-объектива, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, можно представить как

(5.6), где - постоянный фазовый коэфициент Френеля; S1 -область интегрирования по аппертуре входного транспаранта.

Распределение поля в плоскости х2у2 за фурье-объективом, согласно (5.2) будет

(5.7), а подставив (5.6) в (5.7) с учетом (5.3), распределение поля в плоскости х3у3 анализа можно представить в виде :

(5.7),

где (5.8).

Поскольку переменные х1, у1 и х2, у2 интегрирования, в полученном выражении (5.7), являются величинами взаимонезависимыми, то их можно поменять местами, а (5.7) примет вид:

(5.9),

где (5.10), а - функция зрачка фурье-объектива, удовлетворяющая условиям (5.10) финитности в области .

Для анализа выражения (5.9), рассмотрим отдельно внутренний интег-рал, который описывает суперпозицию светового поля по входной аперту-ре фурье-объектива и группируя совместно одинаковые экспотенциаль-ные сомножители, упростим его. Формальное увеличение пределов интег-рирования по входной апертуре фурье-объектива до бесконечности возможно, поскольку размеры входного транспаранта всегда на мно-го меньше аппертуры фурье-объектива, а также чем требуется по усло-виям параксиальности Френеля и условию (5.10) финитности функции зрачка фурье-объектива. Поэтому дифракционное изображение сигнала в плоскости х3у3 анализа ограничено не апертурой фурье-объек-тива, а апертурой входного транспаранта. Это влияние уменшается, чем ближе расположен входной транспарант к фурье-объективу, т.е. чем меньше растояние , что обычно всегда выполняется на практике. Учитывая это можно записать в пределах области интегрирова-ния

(5.11).

Выражение (5.11) содержит два взаимонезависимых подобных интегра-ла и , каждый из которых может быть вычислен с использованием табличного интеграла вида :

(5.12). Применив (5.12) к (5.11), но предва-рительно обозначив через

, и (5.12), выражение (5.11) можно представить в виде :

(5.13).

Подставив (5.13) в (5.9) получим

(5.14).

Выражение (5.14) описывает пространственное распределение комп-лексных амплитуд светового поля в плоскости х3у3 спектрального анализа и содержит ряд взаимонезависимых квадратичных фазовых сомножителя, по-ле в плоскости х3у3 является фурье-образом поля в плоскости х1у1 за входным транспарантом с пространственными частотами и , равными , и (5.15)

Подинтегральный квадратичный сомножитель в выражении (5.14) для распределения поля в плоскости х3у3 анализа

(5.16), при

(5.17)

Решив уравнение (5.17) относительно определим

(5.18).

Полученное уравнение (5.18) представляет собой известное условие Гауса о фокусировке оптической системы, согласно

(5.19)

Таким образом, только при условии фокусировки оптической системы, представленной на рис.2, в ней осуществляется спектральное преобразо-вание Фурье, формируемое в плоскости х3у3, над сигналом , поме-щенным во входной плоскости х1у1. Однако, фурье-образ сигнала содержит квадратичную модуляцию фазы волны из-за наличия фазового сомно-жителя, стоящего перед интегралом в выражении (5.14). Наличие фазовой модуляции фурье-образа приводит к тому, что при регистрации его методами голографии в результирующей интерферограмме возникают дополнительные аберрации, значительно влияющие на его качество. Эта модуляция также имеет важное значение и не может быть опущена в случае дальнейших преобразований деталями оптической системы фурье-образа сигнала . Однако, квадратичная модуляция фазы фурье-образа может быть устранена при соответствующем выборе геометри-ческих параметров оптической системы, т.е.

(5.20) при (5.21).