u(t)=dr(t)/dt (9.1).

dr

Dr

r(t0)= r0

r(t)

r(t)

O O

Рис.9.1 Рис. 9.2

Траекторию можно разбить на бесконечно малые участки - dr, как это показано на рисунке 9.2. Поскольку перемещение dr, бесконечно мало, оно лежит на траектории движения. Время dt, за которое происходит это перемещение, тоже бесконечно мало. Перемещение dr и время dt связаны друг с другом при помощи динамического параметра - мгновенной скорости, определение которой:

u(t)=dr(t)/dt (9.1).

Таким образом, dr =udt, следовательно, направление мгновенной скорости совпадает с направлением элементарного перемещения dr. Иными словами, мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории. По правилу сложения векторов сумма всех dr плюс r0 даст нам вектор r. Но, операция суммирования по бесконечно малым величинам называется интегрированием. Таким образом, проясняется наглядный смысл интегрирования векторной функции и правило вычисления значения r(t), в любой момент времени.

r(t)=r0+u(t)dt (9.2)

Скорость материальной точки, в свою очередь, тоже может меняться со временем. Удобно ввести еще один динамический параметр - ускорение, которое тоже является векторной величиной и тоже может зависеть от времени и координат:

a(t)=du(t)/dt (9.3).

Из этого определения следует, что du(t)=a(t)dt. Если функция a(t) известна, то с ее помощью можно найти скорость тела в любой момент времени, а зная ее, при помощи (9.2) можно найти положение тела в любой момент времени.

u(t)=u0+а(t)dt (9.4),

r(t) = r0 +(u0 +а(t)dt)dt или

r(t)=r0+u0(t-t)+а(t)dtdt (9.5).

В этих формулах u0- начальная скорость тела, т.е. его скорость в момент времени t0.

Таким образом, если нам известны начальное положение материальной точки - r0 и начальная скорость - u0, а также зависимость вектора скорости или вектора ускорения от времени, можно найти координаты системы в любой последующий момент времени - r(t).

Только что мы рассмотрели и обозначили путь решения основной задачи кинематики. При решении этой задачи не ставился вопрос, за счет чего меняется ускорение тела, но в рамках кинематики такой вопрос не ставится. Рассматривалось положение тела в произвольные моменты времени.

В ряде случаев требуется найти не только положение тела, но и тот путь, который оно пройдет. Пройденный путь есть скалярная величина, она обозначается S и численно равна длине траектории. Из рисунка очевидно, что путь в общем случае не равен длине (модулю) вектора перемещения r. Чтобы найти пройденный путь S необходимо просуммировать длины вектора dr, т.е. провести интегрирование по модулю вектора dr:

.

Здесь надо помнить, что модуль вектора, т.е. его длина всегда положительна. При выполнении расчета по этой формуле u(t) всегда надо брать со знаком плюс.

В случае одномерного движения, когда тело перемещается вдоль прямой, векторную функцию можно заменить ее проекцией на выбранную ось. Проекции вектора на другие оси равны нулю, поэтому можно не пользоваться понятием вектора.

КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.

1. Основные положения механики Галилея.

Классическую механику будем рассматривать в контексте тех принципов, которые использовались при ее становлении вплоть до развития современной физики. Не надо думать, что развитие современной физики перечеркнуло всю классическую механику и заставило использовать при описании какие-то принципиально новые положения. Классическая механика, в сформированном Ньютоном виде, играет большую роль в современной науке и технике. Достаточно сказать, что такая большая область техники, как машиностроение, целиком базируется на законах классической механики. При дальнейшем рассмотрении настоящего раздела нас будет интересовать в основном следующие положения.

Классическая механика развилась как раздел науки (физики) в котором рассматривалось механическое движение макросистем, т.е. систем, размеры которых определяются окружающими нас телами. Диапазон масс и размеров огромен. С одной стороны это и атомы, из которых состоят вещества, и движение которых мы можем с большой точностью описывать классическими понятиями. С другой стороны это и такие большие образования, как планеты и звезды.

Механическое движение рассматриваемых систем определяется скоростью движения системы. Хотя скорость понятие относительное, но всегда можно выбрать какую-то систему отсчета, относительно которой мы и рассматриваем скорость. Такой системой отсчета может быть и наша Земля, и наше Солнце, и центр нашей галактики. Все эти системы отсчета движутся друг относительно друга с небольшими, по сравнению с скоростью света, скоростями. В настоящем разделе будут рассматриваться движения, на скорость которых накладывается условие: u<<с, где с @ 3×108 м/с - скорость света в вакууме. Законы движения, которые будут рассмотрены, справедливы с точностью порядка u/с.

Существуют ограничения и на минимальную скорость. Из школьного курса нам известно, что скорость движения атомов, из которого состоит система определять его температуру. Основные явления и эффекты, рассматриваются в классической механике при температурах тел, далеких от абсолютного 0. Если масса системы мала (например, исследуются отдельные атомы или молекулы), а её температура стремится к абсолютному нулю, то наблюдаются квантовые явления, не описываемые в рамках классической физики.

Все теории, созданные до становления современной физики, базировались на принципе, “Природа не терпит разрывов”. Изменение состояния системы происходит не мгновенно, а плавно. Все процессы и явления развиваются постепенно, плавно переходя из одного состояния в другое. Именно это положение и лежало в основе математического аппарата, разработанного Ньютоном и Лейбницем - дифференциального и интегрального исчислений.