Уравнения релятивистской динамики позволили Эйнштейну найти связь массы и энергии тела. Попробуем вслед за ним найти количественной соотношение между этими величинами. Для этого преобразуем уравнение (12.6):

Если дифференциалы величин равны, то сами величины могут различаться на постоянную величину: . Значение этой константы можно найти из условия, что при , выражение для кинетической энергии должно стремиться к Значение ее окажется равным . Таким образом, получаем релятивистское выражение для кинетической энергии: .

Отметим, что классические выражения для кинетической энергии, как неприменимы, даже если в них подставить релятивистские массы.

Второе слагаемое в этом выражении имеет смысл энергии покоя, внутренней энергии тела, энергии связанной с самим фактом существования тела и наличием у него массы в неподвижном состоянии. Сумма кинетической энергии и энергии покоя называется полной энергией тела. Выражение для полной энергии можно получить из формулы (12.9).

.

Мы получили самую известную формулу 20-го века, которая устанавливает количественную связь между энергией и массой. Ее можно трактовать следующим образом. Между полной энергией системы Е и ее массой m существует связь, определяемая формулой (12.10). Энергия при определенных условиях может переходит в массу, а масса - в энергию. Однако, понятие энергии не сводится только к массе и наоборот, масса не сводится только к энергии. Тем самым установлена связь между мерой количества материи - массой и мерой движения материи - энергией. Эта связь является отражением факта, что материя без движения, также, как и движение без материи не существует.

Рассмотрим пример, в котором полученная формула играет определяющую роль. При делении ядра урана образуется два более легких ядра. При этом масса ядра урана больше суммы масс образовавшихся ядер на величину Dm. Дефект массы Dm не исчезает, а переходит в кинетическую энергию осколков - дочерних ядер: DЕ=Dm×c2. Кинетическая энергия этих осколков - и есть та энергия, которая высвобождается при взрыве атомной бомбы или в атомном реакторе.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

1 Законы сохранения, как отражение симметрии процессов преобразования.

Идея сохранения, следствием которой являются законы сохранения, появилась сначала как чисто философская догадка о наличии стабильного, неизменного в вечно изменяющемся мире. Еще античные философы-материалисты пришли к понятию материи - неучтожимой и несотворимой основы всего существующего. С другой стороны, наблюдения постоянных изменений в природе приводило к представлению о вечном движении материи как важнейшем ее свойстве и, как следствие этого, к изменяемости одних и неизменности других свойств материи.

В этом разделе мы рассмотрим законы сохранения как отражение некоторых операций, вводимых в физике. Напомним, что законами сохранения называются те закономерности, согласно которым численные значения некоторых параметров или величин не меняются со временем в любых процессах или в определенном классе процессов.

Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда.

Полное описание физической системы возможно только с использованием динамических законов. Так описание движения материальной точки возможно с использованием законов динамики или законов Ньютона. Однако во многих случаях динамические законы системы либо неизвестны вообще, либо они настолько сложны, что не поддаются анализу. В таких случаях законы сохранения позволяют сделать заключения о характере поведения системы. Причем, зачастую, это можно сделать очень простым образом.

Вспомним школьную задачу о падения тела с высоты h. Скорость тела в момент удара о землю можно найти с использованием законов динамики: первого и второго законов Ньютона. Но, эту же задачу можно решить, используя закон сохранения механической энергии, как говорится, в одну строку. Приведем это решение.

Энергия тела до падения определялась его потенциальной энергией . После момент ударом о землю его потенциальная энергия полностью перешла в кинетическую и стала равной . Поскольку, значение энергии в процессе падения сохранилось, названные можно приравнять и получить скорость тела в момент падения.

.

Решение задачи оказалось очень простым, благодаря использованию закона сохранения механической энергии. Очень часто решение других, гораздо более сложных задач значительно упрощается с использованием других законов сохранения. Приведенный пример показывает, что чем больше законов сохранения нам известно, тем легче и точнее мы можем описывать поведение сложных систем. Возникает интуитивное понимание того, что законы сохранения являются отображением каких-то более общих закономерностей природы.

Целью настоящего раздела является рассмотрение связи законов сохранения с некоторыми математическими операциями и преобразованиями, которые будут введены ниже.

Любая физическая система может быть подвергнута каким-либо операциям или преобразованиям, не изменяющим ее состояния или ее свойств. Например, можно перейти из одной инерциальной системы отсчета в другую с использованием преобразований Галилея. Если физические законы, устанавливающие связь между физическими величинами или параметрами, не меняются в результате таких операций или преобразований, то говорят, что эти законы инвариантны относительно этих преобразований или обладают симметрией к этим преобразованиям.

Введем некоторые из преобразований пространства и времени. Первое из них - это перенос или сдвиг системы как целого в пространстве. Такая операция преобразования сводится к переносу начала отсчета, либо всей системы отсчета и задается вектором. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства. Не существует какой-то "особой" точки в пространстве, которую можно было бы выделить для введения абсолютной системы отсчета, абсолютной системы координат. Этот важнейший факт принято называть однородностью пространства.

Второе преобразование - это поворот системы отсчета или системы координат в пространстве. Его можно свести к поворотам системы относительно одной или всех координатных осей.Симметрия физических процессов и законов относительно этого преобразования связана с изотропностью пространства, т.е. с эквивалентностью всех направлений в пространстве. Нет такого направления, относительно которого мы могли бы задать, например, ось (ох), и которое имело бы преимущества перед другими направлениями. Все направления в пространстве равноценны.