Отсюда следует, что результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебательное движение, происходящее с круговой частотой , периодом и амплитудой

Причем амплитуда не остается постоянной, а медленно изменяется со временем. Частота изменения амплитуды ,

а период амплитуды

Такие колебания называются биениями. Биения - такие колебания, амплитуда которых периодически возрастает и убывает по закону cos. Максимальная амплитуда наблюдается, если фазы слагаемых колебаний совпадают. Ясли эти колебания находятся в противофазе, то они гасят друг друга.

Биения часто встречаются при сложении колебаний и широко используются в радиотехнике.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1) Рассмотрим движение точки М1, участвующей одновременно в 2-х взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых ω1 и ω2 равны (ω1 = ω2 = ω), амплитуды соответственно а и в.

Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений:

где φ – угол сдвига фаз.

Для определения уравнения траектории движения точки из системы уравнений исключим время. Из первого уравнения

Второе уравнение перепишем в виде:

Подставив вместо sin ωt и cos ωt их значения будем иметь уравнение движения

Исследуем некоторые частные случаи.

а) при равенстве частот имеет место еще и равенство фаз, т.е. φ = 0.

Уравнение траектории имеет вид

Уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом ά:

Смещение от начала координат определяется уравнением

Т.к. уравнение слагаемых колебаний имеет вид

Таким образом результирующее движение является гармоническим колебанием.

б) составляющая колебания отличается по фазе на π/2 . Уравнение траектории имеет вид:

отсюда

- эллипс с плоскостями a и b.

При равенстве амплитуд траектории представляют собой окружность.

2) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых кратны между собой, например ω1 : ω2 = 1/2 , 2/3 и т.д. = m/n ,

где m и n – целые числа, колеблющееся тело описывает сложные кривые (наз. Фигурами Лисажу), форма которых определяется отношением частот складываемых колебаний, их амплитудой и разностью фаз между ними

ω1 : ω2 = 2 : 1 ω1 : ω2 = 3 : 2

Δφ = 0 Δφ = π / 2 Δφ = 0 Δφ = π / 4