В течение нескольких уроков, вводя все новые и новые параметры (громкость и длительность звуков, площадь фигур и реальных предметов, сила удара, состав предметных групп для комплектования), учитель при небольшом наборе букв - А, Б, В, Д - приучал детей к новой форме записи. Во многих заданиях дети, получив формулу, например А=В, должны были подобрать любые предметы.

Учитель. Покажите свои предметы. Миша, ты показываешь два новеньких карандашика. Почему же ты выбрал такие карандашики, а не такие (берет с парты ученика карандаши разной длины).

Миша В. Такие нельзя - на доске в формуле сказано, что у нас равенство: А равно ведь В. Я взял и сравнил карандаши - и тот по длине равен этому (показывает).

Учитель. Хорошо. О чем говорят тебе буквы А и В?

Миша В. Они говорят о том, что карандаши равны.

Учитель. Об этом говорят буквы? Они сами - вот А и вот В говорят о равенстве?

Ученики поднимают руки. В классе оживление.

Учитель. Пока мы не будем ему помогать! Думай.

Миша В. (после небольшой паузы). Буквы говорят мне о длине карандашей - этого и этого.

Учитель. И все? Если буквы говорят о длине, то я беру карандаш такой длины - это А, и карандаш такой длины - это В: получила А меньше В.

Ученики. Так нельзя брать, тогда другая формула.

Миша В. У нас равенство - знак равенства стоит. Нужно брать карандаши равной длины, тогда правильно.

Учитель. Так что же говорит о самом равенстве?

Ученики. Знак, который стоит между буквами - вся формула.

Учитель. Я меняю знак в моей формуле - теперь записано А меньше В. Покажите на предметах, что это значит.

Дети находят соответствующие предметы; учитель выясняет основания для выбора - смысл букв, знаков, всей формулы; отметим, что дети показывают предметы, сравниваемые по разным параметрам, в частности, некоторые дети демонстрируют неравенство предметных групп по выбранному критерию.

Особая серия заданий, выполняемых в игровой форме, вводилась для того, чтобы подвести детей к идее того "набора" формул, посредством которого можно выразить все возможные отношения. Учитель, комментируя работу самих учащихся, показывал, что при всех различиях предметов, сравниваемых, например, по длине (здесь и полоски бумаги, и карандаши, и сами дети - при сравнении по росту и т.д.), и при всей разнице длин предметов одного "названия" (например, бумажных полосок) получается либо равенство, либо неравенство, а последнее дает либо "больше", либо "меньше". Поэтому, какие бы предметы ни сравнивались, получаются формулы: либо А=Б, либо А не равно Б. Неравенство уточняется либо как А>Б, либо как А<Б. К этой сетке формул, записанной в тетрадях, дети относили результаты любых частных сопоставлений; на специальном уроке учащиеся под руководством учителя "изощрялись" в выборе предметов, которые можно как-либо сравнивать, и результат сравнения всегда укладывается в одну из этих формул.

В процессе такой работы (кстати, вызывающей у детей большой интерес) учитель вместе с тем требовал отчета о том, какой признак обозначается буквой при соотнесении с нею результата сравнения. Этот момент имеет особое значение, так как дети фактически сталкивались с тем, что к одним и тем же формулам относятся результаты сравнения по длине, по объему, по весу, по силе, но буквы каждый раз говорят о длине, о силе, о весе этих предметов, а не о самих предметах.

Требование "конкретизации общего" было очень важным как для работы со "смыслом" формулы, так и для правильного увязывания буквы (знака) с ее объектом - конкретным, частным значением той или иной величины. Как уже отмечалось выше, обучение по этой теме мы стремились строить так, чтобы для самих; детей буква (во всяком случае на первом этапе) выступала как обозначение веса, объема, длины и всякого иного параметра данного предмета при сравнении с весом, объемом и длиной другого предмета. Буква выступала здесь в своеобразной функции общего знака для любого конкретного значения выделяемого параметра. Поскольку дети фактически выводили формулы при сопоставлении предметов по любым частным значениям этих параметров, а заданные формулы подобным же образом дети могли самостоятельно иллюстрировать, у нас есть основания полагать, что они использовали букву именно в этой функции.

На заключительных уроках темы особое внимание учитель уделял закреплению у детей представления о том, что результат каждого данного сравнения может быть выражен одной и только одной формулой из трех возможных и входящих в установленный "набор". Эта работа обычно проходила в виде "столкновения" разных формул, относимых к результатам одного сравнения. При этом проводилось обсуждение, устанавливающее неправомерность "двойной" или "тройной" записи и выбирающее "правильную" формулу.

Второй вопрос, рассматриваемый на этих уроках, касался довольно тонкого пункта: возможности применения разных букв и пределов такого разнообразия. Прежде всего учитель в ряде случаев не указывал, какие буквы следовало бы употреблять при записи результата сравнения. Ученики по собственной инициативе выбирали буквы. Учитель записывал на доске разные варианты: А>Д; Б>В, Ж>К и т.д., обсуждал вместе с детьми вопрос о том, одинаковые эти формулы или различные. Дети, как правило, самостоятельно устанавливали факт тождественности этих формул, ссылаясь на два момента: во всех случаях стоит знак "больше" и все формулы говорят об одном и том же результате.

Вместе с тем на ряде примеров учитель показывал, что при сравнении по разным признакам лучше употреблять разные буквы, чтобы на этом уроке знать, к чему какая формула относится (хотя на следующем уроке все это теряло смысл, так как те же буквы употреблялись в других ситуациях и т.д.).

Укажем еще один своеобразный момент. На первых порах некоторые дети (их, как правило, было в каждом классе немного) записывали результат сравнения буквами разных размеров, т.е. переносили сюда принцип моделирования предметными значками. Учитель показывал, что в формуле это делать излишне, так как все равно отношение указывается знаком неравенства. На некоторых уроках детям показывались формулы, буквы которых различались по "размерам", но со смыслом, противоположным знаку (например, А<в). Предлагалось подобрать соответствующие предметные иллюстрации; выполняя задание, дети опирались здесь на знак. Учитель же еще раз показывал, что "размер" самих букв может быть любым, - важен смысл формулы, записанной знаком и обозначающий сравнение "каких-либо" предметов (это выражение стало "обиходным" и для самих учащихся).

Работа по данной теме имеет первостепенное значение для развертывания всего начального раздела математики, так как по существу связана с построением в деятельности ребенка особого предмета - системы отношений, выделяющих величины как основу дальнейших математических преобразований. Буквенные формулы, заменяющие ряд предварительных способов записи, впервые превращают эти отношения в абстракцию, ибо сами буквы обозначают любые конкретные значения любых конкретных величин, а вся формула - любые, возможные отношения равенства или неравенства этих значений. Теперь, опираясь на формулы, можно изучать собственные свойства выделенных отношений, превращая их в особый предмет анализа.