Через несколько уроков учащиеся получали неожиданное задание - записать результат сравнения каких-либо детей по росту не линиями, а кругами. Можно ли это сделать? Многие дети ответили утвердительно и самостоятельно выполнили эту запись в тетради или на доске; как правило, соотношение кругов по площади соответствовало результату. Учитель показывал детям, что тот же предмет можно записать еще квадратиками, треугольниками, - важно только, чтобы их соотношение по "размеру" (площади) было таким же, что и при сравнении. Эта работа вызывала у детей большой интерес. Особенно живо они воспринимали задания, когда, например, результат сравнения звуков по громкости можно было записать любыми средствами, кроме "привычных" линий. Ученики использовали круги, треугольники и квадраты, соотношение площадей которых правильно изображало отношение звуков по громкости или длительности. Большинство детей правильно объясняло смысл своих записей, связь между сравниваемыми предметами и их изображениями, а также их различие во всем, кроме "больше - меньше".

Таким образом, в этот период вводились средства записи, физические характеристики которых не имели ничего общего с характеристиками сравниваемых объектов (квадратами записывалась громкость звука и т.п.). Возможность такой записи определяется только изоморфизмом самих отношений равенства-неравенства, которые при подобных "перевоплощениях", собственно, и выделяются в чистом виде, превращаются в особый предмет дальнейших действий.

Для детей эта стадия работы имела большое значение. Во-первых, для них была понятной и оправданной сама возможность такого изображения "всего во всем". Во-вторых, теперь многие из них при интерпретации отношения, заданного знаком, стремились не только к подбору каких-либо реальных предметов (палочек, кубиков), но и к "быстрому" изображению отношения условным рисунком в тетради (проводятся линии, набрасываются квадратики - при соответствии указанному знаку). Для детей главным становится само отношение, его тип, а не предметы, в которых оно может проявляться.

На этой основе вводилась новая форма записи - буквенная (15-16-й уроки). Прямому введению буквенных формул на этих уроках предшествовала подготовительная работа, смысл которой состоял в том, чтобы детям были ясны два момента:

· результаты сравнения по одному и тому же признаку можно записывать разными "значками" (линиями, квадратиками, кружками и знаками),

· эти значки говорят о том, каковы вес, объем, твердость и другие признаки данного предмета по сравнению (именно по сравнению) с весом, объемом, твердостью другого или других предметов. Эти моменты обычно отрабатывались на примерах записи результатов сравнения металлической гирьки и деревянного бруска (гирька была тяжелее, но меньше по объему).

Учитель давал детям "свободу" в выборе значков, а затем, демонстрируя тетради, показывал, что у разных детей разные значки (у одних - линии, у других - круги и т.п.). Конечно, "так можно", но лучше выбрать значок, одинаковый и постоянный для всех, - таким значком, говорит учитель, люди выбрали букву. Если сравниваются: например, гирька и брусок по весу, то вес этой гирьки можно обозначить буквой А, вес же бруска - буквой Б (учитель записывает на доске А, Б). Но эти буквы одинакового "размера", этим они отличаются от других значков, например квадратиков. Как же быть? Как прочитать эту запись, если известно, что вес гирьки больше веса бруска? Вес гирьки - А, вес бруска - Б, - учитель таким способом подводил учащихся к цели, и значительная часть детей могла найти выход; дети вначале устно формулировали ответ: "Вес гирьки - это А, он больше веса бруска - Б".

Вместе с детьми учитель устанавливал, что в записи не достает знака "больше", который тут же и ставился - получалась формула А>Б. Эта запись снова расшифровывалась - дети поочередно объясняют ее смысл: "Вес гирьки, он А, он больше Б, веса брусочка". Учитель заменяет эту пару сравниваемых предметов другой - новые гирька и брусок, сохраняя прежнее отношение между собой, отличаются от старых размерами и цветами.

Учитель. Какой результат сравнения этих предметов по весу мы получили?

Ученики. Опять гирька по весу тяжелее брусочка.

Учитель. Вы теперь знаете новый значок для записи результата сравнения. Ну-ка, попытайтесь работать с помощью этого значка. Как записать вес этой гирьки? Вес брусочка? Запишем.

Ученики. Буквой А и буквой Б (вместе с учителем записывают в тетрадях А .Б).

Учитель. Эта запись уже про все нам говорит?

Ученики. Нет! Здесь про вес . а нужно еще про результат .

Учитель. Что же нам известно про этот результат? Как его записать здесь, когда у нас есть буквы? Попытайтесь сделать это самостоятельно.

Многие ученики, опираясь на предыдущую запись, ставят знак правильно - между буквами: А>Б; но некоторые дети ставят его строчкой ниже, хотя смысл записи объясняют правильно.

Учитель проверяет работу, еще раз показывает правила записи, место для знаков, спрашивает относительно смысла формулы, ее отдельных значков.

Учитель. Читается, ребята, это так: А больше Б. Но что такое А, что такое Б? Про что говорит нам эта запись?

Ученики. Запись говорит - мы сравнивали гирьку и брусок по весу: вес гирьки - это А; вес бруска - это Б. По весу гирька больше бруска. Вес гирьки больше веса брусочка. Записано: А больше Б.

Учитель мог заменить эту пару предметов новой и опять сравнивать по весу, но теперь гирька может быть легче бруска - записывалась и расшифровывалась формула А<Б.

Затем эти же предметы могли быть сравниваемы по другому параметру - по объему. При этом учитель специально подчеркивал, что предметы те же, а признак, по которому они сравниваются, меняется. Вначале вместе с учителем дети в устной форме находят, что по объему гирька меньше брусочка.

Учитель. Раньше этот результат вы записывали так - левая линеечка короче правой (показывает). Но теперь мы знаем другой значок - букву. Если мы объем этой гирьки обозначим буквой А, то как можно обозначить объем брусочка?

Ученики. Буквой Б (впрочем, некоторые дети начинают проявлять инициативу и предлагают другую букву - Г, Д, Ж).

Учитель. Хорошо. Запишите так: А .Б. Что такое А; что такое Б?

Ученики отвечают правильно.

Учитель. Но можно вес брусочка обозначить и другой буквой - здесь уже предлагали букву Д. Запишем пониже: А .Д. Сделали?

Ученики. Нет знака (ставят знак в обеих формулах: А<Б; А<Д).

Далее учитель опрашивает учеников - выясняет с ними смысл формул, устанавливает, что эти формулы говорят про одно и то же: объем гирьки меньше объема брусочка (А меньше Б; А меньше Д). При этом учитель постоянно обращает внимание детей на то, что буквы "говорят" о признаке, по которому происходит сравнение: в одном случае - о весе этой гирьки, в другом - о ее объеме (твердости, высоте и т.д.). Но сами по себе буквы результата сравнения не записывают - нужен связывающий их знак. И лишь вся формула (этот термин давался детям сразу) говорит об этом результате, о том, каков вес, объем, длина - этого предмета по сравнению с весом, объемом, длиной другого.