Кеплер, как его современник Кавальери и другие бо­лее поздние математики XVII в. (например, Паскаль), часто употреблял выражение «Summa omnium» — «сумма всех» (сумма всех радиусов-векторов, сумма всех орди­нат), которое выполняло тогда роль нашего термина «интеграл». Кстати, как известно, знак интеграла (уд­линенная буква S) был введен Лейбницем в конце XVII в. именно для сокращенной записи выражения «Summa om­nium».

Во второй половине первой части своей работы — в «Дополнениях к Архимеду» — Кеплер показывает, что его способ оказывается очень удобным для решения мно­гих новых задач. Так, в теореме 18, например, он легко устанавливает, что объем тора равен объему ци­линдра, основанием которого служит меридиональное сечение тора, а высотой — длина окружности, описывае­мой центром образующего тор круга. Кеплер доказывает это так: меридиональными сечениями тор разбивается на бесконечно большое число кружочков, толщина которых у внешнего края тора больше, чем у внутреннего, но тол­щина кружочка в центральной части равна среднему арифметическому толщин у краев. Поэтому Кеплер при­нимает, что объем такого кружочка равен объему цилинд­ра, высота которого равна толщине центральной части кружка, а в основании лежит образующий тор круг. При этом тор и цилиндр, о которых говорится в условии теоре­мы, разбиваются на равное число равновеликих частей, этим и доказывается теорема. В следующем, более сложном примере определяется объем «яблока». Так называет Кеплер тело, образуемое сегментом, большим, чем полукруг, при его вращении вокруг хорды. Остроумным перераспределением деформированных без изменения объема долей «яблока», образованных по одному способу меридиональными сечениями данного тела вращения, проходящими через его ось, так называемую хорду сегмента, а по другому — тонкими концентрическими цилиндрическими слоями, имеющими осью хорду сегмента и развернутыми в прямоугольники, Кеплер получает тело, представляющее собой «цилиндрическое копыто» — цилиндрический сегмент, основанием которого является образующий «яблоко» сегмент, а высота равна длине окружности экватора данного тела вращения.

Рассмотрев в теоремах 18—22 вопросы о нахождении объемов тора, «яблока» и «лимона» («лимоном» названа тело, образуемое вращением сегмента, меньшего, чем полуокружность, вокруг хорды), Кеплер находит далее объемы и других тел, получаемых при вращении различным образом расположенных отрезков дуг конических сече­ний — эллипса, параболы и гиперболы. Всего сам Кеплер насчитывает 92 формы таких тел, многим из которых он приписывает меткие названия: «айва», «слива», или «олива», «земляника», «груша» и т. д.

Вторая часть его книги, названная «Специальная сте­реометрия австрийской бочки», начинается рассуждением о геометрической форме бочек. Он указывает, что в пер­вом приближении бочку можно рассматривать как ци­линдр, или как два усеченных конуса, сложенных больши­ми основаниями. Более точно форма бочек соответствует среднему слою либо лимона, образованного сегментом круга, либо сливы, образованной частью эллипса, либо параболического веретена, остающемуся после отсечения, равных частей с обеих сторон.

Далее Кеплер рассматривает зависимость между объ­емом бочек и длиной замеряемого отрезка и отношения большего диаметра (в среднем сечении) к меньшему. Но главный интерес для нас представляет то, что Кеплер занимает­ся здесь исследованием формы конусов, цилиндров, а так­же бочек, обладающих наибольшей вместимостью при наименьшей затрате на них материала, что приводит его уже к задачам другого важнейшего раздела исчисления бесконечно малых — дифференциального исчисления: к определению максимумов и изопериметрической задаче. Кеплер правильно отмечает основной признак максимума в том, что, как он пишет, разница между самим максиму­мом и непосредственно предшествующими или последую­щими значениями незаметна.

В третьей части книги («Употребление всей книги о бочках») Кеплер дает практические рекомендации по из­мерению объемов бочек, пытается найти способ для опре­деления с помощью мерного стержня «отношения пустой части к остатку жидкости при лежащей бочке», но в общем виде реше­ние этой задачи ему не удается. Хотя инфинитезимальные работы Кеплера фактически открыли новую эпоху, новый период в развитии матема­тики, они не были сначала правильно оценены многими его современниками. Некоторые математики резко высту­пили против его «нестрогих» методов определения объе­мов, против его метода суммирования бесконечно малых. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон уже через год пос­ле появления «Стереометрии» издал специальное сочинение «В защиту Архимеда», где обвинял Кеплера в оскорблении памяти великого ученого. Они не понимали, что при всей нестрогости методов Кеплера, очевидной и для него самого, эти методы были весьма продуктивны и перспективны.

Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. Оформлением в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления.

Список использованной литературы:

1. Белый, Ю.А. Иоганн Кеплер. Изд. «Наука». М. 1971

2. Веселовский, И.Н. Очерки по истории теоретической механики. Изд. «Высшая школа». М. 1974

3. Григорьян, А.Т. Механика от античности до наших дней. Изд. «Наука». М. 1974

4. Кудрявцев, П.С. История физики и техники. М. 1960

5. Моисеев, Н.Д. Очерки развития механики. Изд. Московского Университета. 1961

6. Спасский, Б.И. История физики. Изд. Московского Университета. 1956