(2.23)

где последовательность случайных величин d1, d2,… образует белый шум.

Условия стационарности процесса, генерируемого моделью (2.23), также формулируются в терминах корней его характеристического уравнения

1 - a1z - a2z2 -…- apzp = 0.

Для стационарности процесса необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга, т.е. превосходили бы по модулю единицу.

Автокорреляционная функция процесса (2.23) может быть вычислена с помощью рекуррентного соотношения по первым p ее значениям r(1),…, r(p). Это соотношение имеет вид:

r (t) = a1r(t - 1) + a2r(t - 2) +…+ apr(t - p), t = p + 1, p + 2, . (2.24)

Частная автокорреляционная функция процесса (2.23) будет иметь ненулевые значения лишь при t £ p; все значения rчаст(p) при t > p будут нулевыми[2]. Это свойство частной автокорреляционной функции AR(p)-процесса используется, в частности, при подборе порядка в модели авторегрессии для конкретных анализируемых временных рядов. Если, например, все частные коэффициенты автокорреляции, начиная с порядка k, статистически незначимо отличаются от нуля, то порядок модели авторегрессии естественно определить равным p = k - 1.

Спектральная плотность процесса авторегрессии p-го порядка определяется с помощью формулы:

Идентификация модели авторегрессии p-го порядка основана на соотношениях, связывающих между собой неизвестные параметры модели и автокорреляции исследуемого временного ряда. Для вывода этих соотношений последовательно подставляются в (2.24) значения t = 1, 2,…, p. Получается система линейных уравнений относительно a1, a2,…, ap:

(2.25)

называемая уравнениями Юла–Уокера[3]. Оценки для параметров ak получим, заменив теоретические значения автокорреляций r(k) их оценками и решив полученную таким образом систему уравнений.

Оценка параметра получается из соотношения

заменой всех участвующих в правой части величин их оценками.

2.3.2. Модели скользящего среднего порядка q (МА(q)-модели)

Рассмотрим частный случай общего линейного процесса (2.13), когда только первые q из весовых коэффициентов bj ненулевые. В это случае процесс имеет вид

et = dt - q1dt-1 - q2dt-2 -…- qqdt-q, (2.26)

где символы -q1,…, qq используются для обозначения конечного набора параметров b, участвующих в (2.13). Процесс (2.26) называется моделью скользящего среднего порядка q (МА(q)).

Двойственность в представлении AR- и МА-моделей и понятие обратимости МА-модели. Из (2.13) и (2.14) видно, что один и тот же общий линейный процесс может быть представлен либо в виде AR-модели бесконечного порядка, либо в виде МА-модели бесконечного порядка.

Соотношение (2.26) может быть переписано в виде

dt =et + q1dt-1 + q2dt-2 +…+ qqdt-q.

Откуда

dt = et - p1et-1 - p2et-2 -…, (2.27)

где коэффициенты pj (j = 1, 2,…) определенным образом выражаются через параметры q1,…, qq. Соотношение (2.27) может быть записано в виде модели авторегрессии бесконечного порядка (т.е. в виде обращенного разложения) [20]

Известно (см., например, [Бокс, Дженкинс, (1974)]), что условие обратимости МА(q)-модели (т.е. условие сходимости ряда ) формулируется в терминах характеристического уравнения модели (2.26) следующим образом:

Все корни характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга, т.е. |zj| > 1 для всех j = 1, 2,…, q.

Основные характеристики процесса МА(q). Справедливо следующее выражение для ковариаций:

(2.28)

Автокорреляционная функция процесса МА(q) получается непосредственно из (2.28):

(2.29)

Таким образом, автокорреляционная функция r(t) процесса МА(q) равна нулю для всех значений t, больших порядка процесса q. Это важное свойство используется при подборе порядка МА(q)-модели по экспериментальным данным [1];

Спектральная плотность процесса МА(q) может быть вычислена с помощью соотношения:

Идентификация модели МА(q) производится на базе соотношений (2.29), а именно: 1) по значениям с помощью формулы

подсчитываются значения ; 2) в соотношения (2.29) последовательно подставляются значения t = 1,…, q с заменой в левой их части величин r(t) полученными ранее оценками ; 3) полученная таким образом система из q уравнений разрешается относительно неизвестных значений q1,…, qq; решения этой системы и дадут оценки неизвестных параметров модели; 4) оценка параметра может быть получена с помощью первого из соотношений (2.28) подстановкой в него вместо g(0), q1,…, qq их оценок.

Заметим, что в отличие от системы уравнений Юла-Уокера (2.25), уравнения для определения оценок параметров МА(q)-модели нелинейны. Поэтому эти уравнения приходится решать с помощью итерационных процедур [4].

Взаимосвязь процессов AR(q) и МА(q). Сделаем ряд замечаний о взаимосвязях между процессами авторегрессии и скользящего среднего.

1. Для конечного процесса авторегрессии порядка p dt может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих e, или et может быть представлено как бесконечная сумма предшествующих d. В то же время, в конечном процессе скользящего среднего порядка q et может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих d или dt - как бесконечная взвешенная сумма предшествующих e.

2. Конечный процесс МА имеет автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но так как он эквивалентен бесконечному процессу AR, его частная автокорреляционная функция бесконечно протяженная. Главную роль в ней играют затухающие экспоненты и (или) затухающие синусоиды. И наоборот, процесс AR имеет частную автокорреляционную функцию, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но его автокорреляционная функция имеет бесконечную протяженность и состоит из совокупности затухающих экспонент и или затухающих синусоид.