(2.9)

где wk (k = -m, -m + 1,…, m) - некоторые положительные «весовые» коэффициенты, в сумме равные единице, т.е. wk > 0 и . Поскольку, изменяя t от m + 1 до T - m, мы как бы «скользим» по оси времени, то и методы, основанные на формуле (2.9), принято называть методами скользящей средней (МСС).

Очевидно, один МСС отличается от другого выбором параметров m и wk.

Определение параметров wk основано на следующей процедуре. В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая гладкая функция f(x) при самых общих допущениях может быть локально представлена алгебраическим полиномом подходящей степени p. Поэтому берем первые 2m + 1 членов временного ряда x1,…, x2m+1, строим с помощью МНК полином степени p, аппроксимирующий поведение этой начальной части траектории временного ряда, и используем этот полином для определения оценки сглаженного значения f(t) временного ряда в средней (т.е. (m + 1)-й) точке этого отрезка ряда, т.е. полагаем . Затем «скользим» по оси времени на один такт и таким же способом подбираем полином той же степени p к отрезку временного ряда x2,…, xm+2 и определяем оценку сглаженного значения временного ряда в средней точке сдвинутого на единицу отрезка временного ряда, т.е. , и т.д. [7]

В результате мы найдем оценки для сглаженных значений анализируемого временного ряда при всех t, кроме t = 1,…, m и t = T,… T - m + 1.

Подбор наилучшего (в смысле критерия МНК) аппроксимирующего полинома к траектории анализируемого временного ряда приводит к формуле вида (2.9), причем результат не зависит от того, для какого именно из «скользящих» временных интервалов был осуществлен этот подбор.

Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (метод Брауна [Brown (1963)]). В соответствии с этим методом оценка сглаженного значения в точке t определяется как решение оптимизационной задачи вида

(2.10)

где 0 < l < 1. Следовательно, веса lk в критерии Q(f) обобщенного («взвешенного») МНК уменьшаются экспоненциально по мере удаления наблюдений xt-k в прошлое. Решение оптимизационной задачи (2.10) дает:

(2.11)

В отличие от обычного МСС здесь скользит только правый конец интервала усреднения и, кроме того, веса экспоненциально уменьшаются по мере удаления в прошлое. Формула (2.11) дает оценку сглаженного значения временного ряда не в средней, а в правой конечной точке интервала усреднения [12].

2.3. Модели стационарных временных рядов и их идентификация

В 2.2 рассматривался класс стационарных временных рядов, в рамках которого подбирается модель, пригодная для описания поведения случайных остатков исследуемого временного ряда (1). Здесь рассматривается набор линейных параметрических моделей из этого класса и методы их идентификации. Таким образом, речь здесь идет не о моделировании временных рядов, а о моделировании их случайных остатков et, получающихся после элиминирования из исходного временного ряда xt его неслучайной составляющей (2.8). Следовательно, в отличие от прогноза, основанного на регрессионной модели, игнорирующего значения случайных остатков, в прогнозе временных рядов существенно используется взаимозависимость и прогноз самих случайных остатков.

Введем обозначения. Так как здесь описывается поведение случайных остатков, то моделируемый временной ряд обозначим et, и будем полагать, что при всех t его математическое ожидание равно нулю, т.е. Eet, º 0. Временные последовательности, образующие «белый шум», обозначим dt.

Описание и анализ, рассматриваемых ниже моделей, формулируется в терминах общего линейного процесса, представимого в виде взвешенной суммы настоящего и прошлых значений белого шума, а именно:

(2.13)

где b0 = 1 и .

Таким образом, белый шум представляет собой серию импульсов, в широком классе реальных ситуаций генерирующих случайные остатки исследуемого временного ряда.

Временной ряд et можно представить в эквивалентном (2.13) виде, при котором он получается в виде классической линейной модели множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают его собственные значения во все прошлые моменты времени:

(2.14)

При этом весовые коэффициенты p1, p2,… связаны определенными условиями, обеспечивающими стационарность ряда et. Переход от (2.14) к (2.13) осуществляется с помощью последовательной подстановки в правую часть (2.14) вместо et-1, et-2,… их выражений, вычисленных в соответствии с (2.14) для моментов времени t - 1, t - 2 и т.д.

Рассмотрим также процесс смешанного типа, в котором присутствуют как авторегрессионные члены самого процесса, так и скользящее суммирование элементов белого шума [5]:

Будем подразумевать, что p и q могут принимать и бесконечные значения, а также то, что в частных случаях некоторые (или даже все) коэффициенты p или b равны нулю.

2.3.1. Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели)

Рассмотрим сначала простейшие частные случаи.

Модель авторегрессии 1-го порядка - AR(1) (марковский процесс). Эта модель представляет собой простейший вариант авторегрессионного процесса типа (2.14), когда все коэффициенты кроме первого равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

et = aet-1 + dt, (2.15)

где a - некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу (|a| < 1), а dt - последовательность случайных величин, образующая белый шум. При этом et зависит от dt и всех предшествующих d, но не зависит от будущих значений d. Соответственно, в уравнении (2.15) dt не зависит от et-1 и более ранних значений e. В связи с этим, dt называют инновацией (обновлением).

Последовательности e, удовлетворяющие соотношению (2.15), часто называют также марковскими процессами. Это означает, что

Eet º 0, (2.16)

r(et, et±k) = ak, (2.17)

Det = , (2.18)

cov(et, et±k) = akDet. (2.19)

Одно важное следствие (2.19) состоит в том, что если величина |a| близка к единице, то дисперсия et будет намного больше дисперсии d. А это значит, что если соседние значения ряда et сильно коррелированы, то ряд довольно слабых возмущений dt будет порождать размашистые колебания остатков et. [10]