В качестве примера рассмотрим распределение суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин.

Характеристическая функция стандартного нормального распределения

(2.22)

Отсюда характеристическая функция распределения суммы пуассоновского числа стандартных нормальных величин имеет вид

(2.23)

(2.24)

В результате интегрирования получим

(2.25)

Полученная плотность распределения претерпевает значительную деформацию по сравнению с предельным нормальным распределением. Сумма случайного числа случайных величин, как видно из формулы (2.25), распределена по закону, отлично­го от нормального, и это отличие тем существенней, чем больше удельный вес имеют вероятности получения малых значений случайных чисел п. Это обстоятельство имеет весьма важное значение для решения вопроса отбраковки устаревшей информации.

К аналогичному выводу можно прийти, рассматривая сумму пуассоновского числа экспоненциально распределенных слу­чайных величин. В этом случае плотность распределения имеет вид

(2.26)

где m – величина, обратная среднему значению случайной величины Т.

Таким образом, применение предложенного подхода позволит более объективно выявить статистическую закономерность формирования времени существования полезной информации и решить ряд задач отбраковки устаревших данных при прогнозировании микроэкономических показателей.

4.4. Определение глубины предпрогнозной ретроспекции с учетом старения информации

Наиболее общая постановка задачи сравнения результатов прогнозных расчетов, полученных с использованием различной глубины ретроспекции, заключается в следующем. С целью выявления периода старения информации определяется k значений глубины ретроспекции (Т2, Т3, …, Тk+1). Значение Т1=0 целесообразно принять за контрольную точку, так как вполне очевидно, что в этой точке информация еще не устарела и ее можно считать наиболее ценной и достоверной. В ходе прогнозных исследований определяется … значений точечных оценок прогноза Xj(Tj). Если ввести в рассмотрение разность точечных оценок

Z1=X2(T2)-X1(T1), Z2=X3(T3)-X3(T2),…,Zj= =Xj+1(Tj+1)-Xj(Tj),…Zk=Xk+1(Tk+1)-Xk(Tk), (2.27)

то значения Zj(j=1, …, k) можно считать независимыми случайными величинами, поведение которых описывается некоторым неизвестным законом распределения F(Z).

Ограниченный объем используемой информации не позво­ляет достаточно надежно его определить методами математи­ческой статистики. Поэтому требуется разработка специальных методов решения задачи сравнения результатов прогнозов по ограниченному набору ретроспекций.

Следует заметить, что выборочные моменты (математиче­ское ожидание, дисперсия и др.) могут быть определены по вы­борке Zj(j=1, …, k).

Определение закона распределения случайной величины Z и его анализ позволяют дать статистическую и смысловую интер­претацию результатов сравнения прогнозных исследований, оп­ределить коэффициент доверия (или построить доверительную область), проверить статистическую гипотезу о непротиворечи­вости данных прогноза и контрольного значения динамического ряда.

Традиционно для описания подобного рода случайных ве­личин обращаются прежде всего к нормальному (гауссовскому) распределению, которое играет фундаментальную роль в вероятностно-статистических исследованиях.

Традиционная универсальность нормального закона, как было отмечено выше, объясняется, прежде всего, полнотой теоретических исследований, относящихся к нему. При са­мых широких предположениях суммы случайных величин ведут себя асимптотически нормально (соответствующие ус­ловия и составляют содержание так называемой предельной теоремы). Во многих случайных величинах можно видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин и т.д. В силу изложенных обстоятельств этот закон распределения широко используется в качестве модели для различных статистических совокупностей. В тех случаях, ко­гда гипотеза о принадлежности статистической совокуп­ности генеральной нормальной совокупности не под­тверждается опытными данными или когда теорети­ко-вероятностная схематизация вероятностного эксперимента порождает другую модель, представляется целесообраз­ным в силу универсальности нормального закона обра­титься к теории суммирования случайного числа нормаль­ных случайных величин.

Теоретической основой процедуры уточнения математиче­ской модели формирования закона распределения случайной величины Z является аппарат характеристических функций.

В этом случае функция распределения F(Z) суммы случай­ного числа n случайных величин Z, на основании мультиплика­тивного свойства характеристических функций определяется характеристической функцией

(2.28)

где характеристическая функция нормальной слу­чайной величины с параметрами m и a.

В качестве примера, имеющего прикладное значение в рас­сматриваемой области, рассмотрим распределение суммы пуассоновского числа нормально распределенных случайных вели­чин. С этой целью составим уравнение

(2.29)

правая часть которого равна эмпирической характеристиче­ской функции. Параметры нормального закона распределения m и a и закона Пуассона v могут быть определены в результате минимизации невязки или с помощью моментов. Метод момен­тов применительно к рассматриваемому уравнению заключа­ется в приравнивании некоторого количества выборочных моментов, оцениваемых по правой части уравнения (2.29), к со­ответствующим теоретическим, определяемым по характери­стической функции левой части уравнения в соответствии с за­висимостью

(2.30)

Естественно, что число получаемых в этом случае уравне­ний должно быть равным числу оцениваемых параметров (в данном случае трем).

Последовательно дифференцируя характеристические функции по t и приравнивая в полученных производных значе­ния t нулю, можно составить следующую систему уравнений

(2.31)

где Sk-асимметрия закона распределения, равная центральному моменту третьего порядка.

После некоторых алгебраических преобразований из систе­мы уравнений (2.31) можно определить среднее число сумми­руемых случайных величин (параметр закона Пуассона).

(2.32)

математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение суммируемой нормальной случайной величины

и (2.33)