системы дифференциальных уравнений

(4)

описывающих переходные процессы в ЭС при малых возмущениях. Одновременно является матрицей Якоби УУР.

Правые части дифференциальных уравнений являются функциями невязок УУР, которые обращаются в нуль в точках равновесия. Для исследования предельных режимов используется метод малых колебаний. Суть метода заключается в замене нелинейных дифференциальных уравнений (4) линеаризованными:

(5)

где - параметры исследуемого на устойчивость режима работы ЭС, удовлетворяющие системе уравнений (1).

Процедура линеаризации выполняется на основе разложения функций в ряд Тейлора:

и отбрасывания нелинейных членов разложения. Тогда

(6)

Согласно первой теореме Ляпунова, положение равновесия системы УУР будет асимптотически устойчивым, если все корни характеристического уравнения (3) линеаризованной системы будут иметь отрицательные действительные части.

Так для ЭС практически всегда выполняется условие .

то изменение знака свободного члена характеристического уравнения (3) по сравнению с исходным, заведомо устойчивым режимом означает, что стал положительным один из действительных корней. Поэтому равенство (2) определяет границу апериодической устойчивости и кроме того границу существования решения уравнений (1).

Предельным режимам ЭС отвечают параметры , удовлетворяющие уравнениям (1) и условию (2). Точки образуют в пространстве Y гиперповерхность .

2.1. Метод дискретного утяжеления

Традиционные методы расчета предельных режимов основаны на дискретном утяжелении исходного стационарного режима по какому-либо параметру или группе параметров. Расчет содержит следующие этапы:

1. Находится вектор переменных исходного, заведомо устойчивого режима путем решения уравнений

2. При найденном рассчитывается величина

и фиксируется ее знак, который зависит от последовательности написания уравнений и может быть любым.

3. Задается нормированный вектор , определяющий направление утяжеления в пространстве регулируемых параметров Y (см. рис. 3).

Длина вектора :

.

4. Решается уравнение

и определяются параметры утяжеленного режима. При этом

,

где Т1 – соответсвует первой ступени утяжеления.

5. При найденных значениях вычисляется величина .

Рис. 3. Утяжеление режима.

Утяжеление продолжается до тех пор, пока на k-том шаге

, Tk=k*T1

не произойдет изменение знака (точка Y окажется между границами LW () и LF ()) или пока решение уравнений

не перестанет существовать.

Последнее свидетельствует о том, что режим, предельный по передаваемой мощности, наступает раньше предельного по устойчивости [27].

Начальный шаг утяжеления выбирается достаточно большим, а после первого пересечения поверхности LW происходит его деление пополам. Процесс дробления заканчивается после того, как длина шага останется меньше заданной точности по иска параметров Yпр.

Для определения предельного режима методом дискретного утяжеления с достаточной точностью, длина шага утяжеления должна быть невелика. Это приводит к необходимости расчета большого числа промежуточных режимов, как правило, не интересующих расчетчика. Для сокращения вычислений и повышения точности поиска параметров предельного режима прибегают к процедуре дробления шага.

Расчет последовательно утяжеляемых режимов, требующий больших затрат времени необходим потому, что якобиан уравнений установившегося режима не представим в виде аналитических выражений и может быть получен только численно. Кроме того, в искомой точке предельного режима матрица Якоби УУР становится вырожденной и возникают существенные трудности, вызванные необходимостью решения плохо обусловленных систем линейных уравнений (СЛУ)[13].

Кроме того, сложность возникает и при выборе начального шага утяжеления. Малая величина приводит к затягиванию процесса вычислений. Слишком большой шаг приводит к большому количеству расходящихся промежуточных режимов, что также увеличивает время счета.

При наличии ограничений по реактивной мощности генераторов, поиск параметров Xпр, Yпр становится невозможным без применения специальных приемов.

К преимуществам методов дискретного утяжеления можно отнести простоту реализации, возможность изменения параметров режима на любом шаге утяжеления. Это дает возможность учитывать ограничения-неравенства.

2.2. Методы непрерывного утяжеления

Для определения предельных режимов в работе [28] был предложен способ непрерывного утяжеления, основанный на использовании одной из модификаций метода Ньютона.

В основе метода Ньютона лежит линеаризация решаемых уравнений в точке текущего приближения. Разложим вектор-функцию УРР F(X, Y) при заланном Y в ряд Тейлора и отбросим нелинейные члены: