В этом пункте Рейхенбах допускает принципиальную ошибку. Верно, что старое различие, идущее от Платона, между чертежом треугольника и мысленным треугольником находит здесь достаточно удовлетворительное разрешение.

Тем не менее, особый характер наглядности евклидовой геометрии не может быть понят ни с наивно эмпирической, ни с предлагаемой Рейхенбахом логической точек зрения. Арифметика и геометрия Евклида не просто две первые исторически математические структуры, а структуры, связанные с категориальным видением мира, и они будут занимать всегда совершенно особое место в человеческом восприятии мира, несмотря на широкое использование других геометрических и арифметических систем. Какие бы пространства мы не использовали в физике, мы всегда представляем физические объекты в обычном трехмерном пространстве. Этот факт истолковывается часто чисто психологически («человек еще не привык к другим пространствам»), или антропоморфно («так устроены визуальные способности человека»), или, наконец, логически («однозначность представлений, связываемых с евклидовой геометрией, порождена ее логической организацией, жестким логическим соподчинением понятий»). Дело, однако, здесь не в психологии и не в логике. Евклидовый характер представлений об объектах диктуется тем, что эти представления внедрены в само представление об объектах, образуют общую логику восприятия мира, продиктованную в конечном итоге необходимой структурой деятельности или структурой субъективно-объективного отношения. Но это значит, что особая данность евклидовых представлений для сознания отнюдь не только следствия их широкой употребимости и логической организации, но прежде всего следствия самого характера отношений, которые они фиксируют, то есть она имеет онтологическую природу. В этом смысле другие геометрии не могут быть поставлены рядом с евклидовой вне зависимости от их важности для науки и степени использования.

Заключение.

Когда в настоящее время задается вопрос об истинной геометрии реального пространства, то мы получаем обычно два ответа. Первый состоит в том, что геометрия реального пространства является евклидовой, так как мы все представляем себе неизбежно в евклидовом трехмерном пространстве. Остальные же геометрии (пространства) – не более чем средство описания и не имеют реального статуса. Другой ответ состоит в том, что реальное пространство риманово, поскольку наиболее общая физическая картина мира, выраженная в общей теории относительности, связана с группой римановых геометрий.

Из сказанного выше ясно, что каждый ответ в некотором смысле верен. Но если первый ответ под геометрией реального пространства имеет в виду необходимую геометрию восприятия, и он может быть обоснован только в рамках философии, через анализ связи понятий геометрии с категориальным видением мира, то второй ответ имеет ввиду геометрию физического описания, и он может быть оправдан в рамках физики и методологии, диктующей неизбежность в данной сфере опыта использовать то или другое пространство как средство описания в той форме, как это делал, к примеру, Рейхенбах. Недостаток позитивистской методологии в исследовании проблемы пространства состоит в том, что она, исследуя реальное пространство, ограничивается только физическим аспектом, оставляя в стороне глубокие вопросы отношения математических структур к действительности, которые были уже ясно поставлены такими философами, как Лейбниц и Кант.

Современная формалистская философия математики склонна прежде всего подчеркивать одинаковость всех возможных геометрических систем. Это является продолжением традиции, идущей от Гельмгольца и направленной на оправдание неевклидовых геометрий. Несмотря на определенную ее разумность, она ограничена. Здесь не учитывается то, на чем в несколько мистифицированной форме настаивает математический реализм – привилегированность отдельных математических представлений, имеющая онтологическое основание. Мы вправе говорить о реальном пространстве, о реальной логике, о настоящей арифметике как об особых интуитивно ясных системах отношений, и эта интуитивная ясность, особая данность для сознания, может быть объяснена в данном случае только связью этих объектов с деятельностным, категориальным видением мира, но не эмпирически и не логически. Широкое использование в науке многомерных геометрий не может поставить их онтологически рядом с евклидовой геометрией, поднять их наглядность до уровня наглядности евклидовой геометрии, изменить того факта, что мы представляем все вещи и процессы природы только в трехмерном евклидовом пространстве.

Вопрос о реальном пространстве, очевидно, связан с общей проблемой реальности математических объектов. Позитивный смысл математического реализма состоит в том факте, что центральные понятия математики, такие как множество, число, величина, функция, континуизм, евклидово пространство, имеют прямое отношение к общему категориальному видению мира, отражая, таким образом, уровень представлений о реальности. Этим обстоятельством, прежде всего, объясняется особая интуитивная ясность этих понятий, которая как исходный факт лежала в основе всех рационалистических концепций математики. Логически продуцированное воображение Рейхенбаха – ни в коей мере не объясняет этого феномена, хотя компонент наглядности, связанный с логикой, безусловно, существует. Для уяснения статуса математических понятий недостаточно традиционного различия между формальным и содержательным, здесь должно быть учтено также различие между эмпирическим и категориальным.

Сказанное означает, что формалистская философия математики не является удовлетворительной и в понимании математического объекта. Она должна быть дополнена концепцией, раскрывающей непосредственную связь математического мышления с онтологией, с категориальными представлениями о мире. Конечно, для решения конкретных математических задач и даже для реализации конкретных шагов в обосновании математики нет необходимости выяснять истоки тех или иных математических представлений, и в этом плане можно понять призыв Гейтинга очистить математику от метафизики и идею Бар-Хиллера построить теорию математического мышления без онтологии. Но здесь упускается из виду, что для оправдания общей стратегии в основаниях математики выяснение связи математических понятий с логикой и категориальными представлениями может оказаться ничуть не менее важным, чем выяснение их связи с опытом.

Литература.

1. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. – М., 1981

2. Лукьянец В.С. Пространство как объект математизированного физического знания. – В кн.: Диалектический материализм и вопросы естествознания. Пермь, 1970

3. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. – М: Просвещение, 1969

4. Петров Ю.А. Философские проблемы математики. – М., 1974

5. Философский словарь (под ред. И.Т. Фролова) – М.: Политическая литература, 1981

6. Чудинов Э.М. Теория относительности и философия. – М.: Политическая литература, 1974

7.