ПЛАН

Введение.

1. Математическое понятие пространства.

2. Изменчивость представлений о пространстве.

3. Философское понятие пространства.

4. Геометрия реального пространства.

Заключение.

Литература.

Введение.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное». (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., соч., 2 изд., т. 20, стр. 37) Абстрактность математики, однако не означает ее отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данные выше определения математики наполняется все более богатым содержанием.

Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определенная математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает в борьбе двух тенденций: с одной стороны выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и переходы к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступит на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией.

Философские вопросы математики в первом приближении можно было бы охарактеризовать как проблемы, которые хотя и возникают на почве математического знания, но не могут быть разрешены средствами одной математики. Существенную роль в их решении играет философия.

Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Так Н. Бурбаки пишет, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического».

Но философия, осмысливая достижения физико-математических наук, не ограничивается только интерпретацией полученных физических, математических результатов, а выступает по отношению к данным наукам в качестве методологии, указывающей пути исследования еще не решенных научных проблем.

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам. Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. В каком смысле, например, существуют n-мерные и бесконечные пространства? Что такое вообще пространство? Реально ли пространство или это чистая абстракция, существующая только в сознании человека? Этот вопрос очень интересен не только с точки зрения философии, но и сточки зрения математики. Понятие пространства – это основополагающее понятие математики. Оно входит во все без исключения разделы математики. Прежде чем начинать любые математические действия, операции, вычисления необходимо определить пространство, в котором находятся объекты предполагаемых действий. Вот почему этот вопрос так актуален и интересен для изучения.

§1. Математическое понятие пространства.

Пространство – логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служит средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве случаев в пространстве фиксируются отношения, сходные по формальным свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояния между точками, равенство фигур и др.), так что о таких пространствах можно сказать, что они представляют логически мыслимые пространственно-подобные формы. Исторически первым и важнейшим математическим пространством является 3-мерное евклидово пространство, представляющее приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате постепенного, все более широкого обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова пространства. Первые пространства, отличные от 3-мерного евклидова, были введены в первой половине 19 века. Это были пространства Лобачевского и евклидово пространство любого числа измерений. Общее понятие о математическом пространстве было выдвинуто в 1854 году Б. Риманом; оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях: таковы, например, Банахово пространство, векторное пространство, гильбертово пространство, риманово пространство, топологическое пространство. В современной математике пространство определяют как множество каких-либо объектов, которые называются его точками; ими могут быть геометрические фигуры, функции, состояния физической системы и т.д. Рассматривая их множество как пространство, отвлекаются от всяких их свойств и учитывают только те свойства их совокупности, которые определяются принятыми во внимание или введенными (по определению) отношениями. Эти отношения между точками и теми или иными фигурами, то есть множествами точек, определяют «геометрию» пространства. При аксиоматическом ее построении основные свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах.

Примерами пространства могут служить:

1) Метрические пространства, в которых определено расстояние между точками. Например, пространство непрерывных функций на каком-либо отрезке [a, b], где точками служат функции f(x), непрерывные на [a, b], а расстояние между f1(x) и f2(x) определяется как максимум модуля их разности: r = max |f1(x) - f2(x)|.

2) «Пространство событий», играющее важную роль в геометрической интерпретации теории относительности. Каждое событие характеризуется положением – координатами x, y, z и временем t, поэтому множество всевозможных событий оказывается n-мерным пространством, где «точка» – событие определяется и координатами x, y, z, t.

3) Фазовые пространства, рассматриваемые в теоретической физике и механике. Фазовое пространство физической системы – это совокупность всех ее возможных состояний, которые рассматриваются при этом как точки этого пространства. Понятие об указанных пространствах имеет вполне реальный смысл, поскольку совокупность возможных состояний физической системы или множество событий с их координацией в пространстве и во времени вполне реальны. Речь идет, стало быть, о реальных формах действительности, которые, не являясь пространственными в обычном смысле, оказываются пространственно-подобными по своей структуре. Вопрос о том, какое математическое пространство точнее отражает общие свойства реального пространства, решается опытом. Так было установлено, что при описании реального пространства евклидова геометрия не всегда является достаточно точной, и в современной теории реального пространства применяется риманова геометрия.