, (3,32)

Вместе с правилом эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.

Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо и операторы

, . (3,33)

Для них имеем

, , (3,34)

Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов и равны и , где . С другой стороны, по определению операторов и , находим, после простого вычисления:

,

( при вычислении суммы снова заменено на ). Отсюда

(где ) и затем .

Обозначив

, , (3,35)

приходим к требуемому результату . Кратность вырождения уровней равна, как и следовало: . Наконец, поскольку , то при заданном орбитальный момент пробегает значения от до .

[1] Предполагается, что при малых поле таково, что падения частицы не происходит.