Содержание:

1. Движение в центрально-симметричном поле.

2. Падение частицы на центр.

3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

1.Движение в центрально-симметричном поле.

Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц ( с массами ) , взаимодействующих по закону -расстояние между частицами), имеет вид

(1,1)

где - операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-векторов частиц и новые переменные и :

(1,2)

- вектор взаимного расстояния, а - радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:

(1,3)

( и - операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов и ;

- полная масса системы; - приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать в виде произведения , где функция описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой ), а описывает относительное движение частиц ( как движение частицы массы в центрально-симметричном поле ).

Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид

(1,4)

Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде

.

(1,5)

Если ввести сюда оператор квадрата момента:

,

то мы получим

(1,6)

При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента и его проекции . Заданием значений и определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде

(1,7)

где - сферические функции. Поскольку , то для «радиальной функции» получаем уравнение

(1,8)

Это уравнение не содержит вовсе значения , что соответствует -кратному вырождению уровней по направлениям момента.

Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой

(1,9)

уравнение (1,8) приводится к виду

(1,10)

Если потенциальная энергия везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция , а следовательно, и ее радиальная часть . Отсюда следует, что должна обращаться в нуль при :

(1,11)

В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося при в бесконечность.

Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией

(1,12)

равной сумме энергии , и члена

,

который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при ). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции , определяющееся интегралом

.

При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями и , мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями . Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин для такого движения.