Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды (рис. 6). Какие многоугольники могут быть основанием таких пирамид?

Рис.7

Докажите, что если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенных из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (рис. 7). Какие многоугольники могут быть основанием таких пирамид?

На третьем уроке выводится формула объема усеченной пирамиды как следствие теоремы об объеме пирамиды. В учебнике [7] предлагается вывести эту формулу самостоятельно.

В конце данного урока проводится самостоятельная работа по учебнику [7] контролирующего характера (на 6-8 мин):

Вариант I: задача № 686 (а) для l = 10 см, = 300.

Вариант II: задача № 688(а) для Н = 10 см, = 600.

Можно провести практическую работу (учитывается как контрольная). Учитель заранее подготавливает модели правильных пирамид (4-6) для работы в классе. Модели, покупные или изготовленные учащимися, перенумеровываются и раздаются по одной. Учащийся не получает ту модель, которую он сам изготовил. Учитель имеет готовые ответы. Измерения производятся в см или в мм.

Указания даются устно:

1) Вместо буквы n поставить цифры 4 или 6.

2) Выполнить все необходимые измерения, сделать чертеж, заполнить таблицу.

3) Выражение для вычисления площади основания Q записать.

4) Все вычисления записывать в таблицу.

Модель №……… Правильная n-угольная пирамида
Сторона основания………………………… Периметр основания………………………. Площадь основания……………………… Апофема пирамиды……………………… Площадь боковой поверхности…………… Площадь полной поверхности……………. Высота пирамиды…………………………. Объем пирамиды…………………………	а (см) Р (см) Q (см) А (см) Sбок (см2) S (см2) Н (см) V (см3)

Дополнительное задание (подготавливается учителем на карточках и предлагается учащимся):

1. По развертке, данной в масштабе, вычислить действительные площадь полной поверхности и объем: 1) правильной призмы (рис. 8); 2) правильной пирамиды (рис. 9)

2.

Рис.9

Рис.8

Указание: при выполнении в тетради чертежей пирамиды и призмы учащийся может взять произвольные размеры основных элементов.

3. Вычислить объем башни, размеры которой в метрах даны на рисунке 10.

Вывод формулы объема пирамиды в учебнике [7] рассматривается в два этапа (Приложение 7). Вначале автор предлагает рассмотреть для треугольной пирамиды, а затем – для произвольной. Автор проводит ось, рассматривает сечение плоскостью, выражает площадь сечения через площадь основания, применяет основную формулу для вычисления объемов (определенный интеграл). В доказательстве автор также использует признаки подобия. Таким образом, хорошо прослеживается связь с ранее уже изученным.

Следствием теоремы, в отличие от [8], является формула объема для усеченной пирамиды. Доказательства в данном учебнике не приведено. В учебнике [7] формулировка формулы приведена, как задача, причем автор сам задачу решает.

Мы рассмотрели основные рекомендации для изучения данной темы, которые описаны в соответствующей литературе. Но есть и другие приемы и методы, которыми практически не пользуются, но они имеют свои преимущества. Далее приведена примерная (авторская) система данных уроков.

Рис.10

Изучение темы «Объемы многогранников» предлагается вести по схеме, отличной от предлагаемой ранее в данной работе.

Дело в том, что объемы тел – тема, вызывающая достаточно большие трудности у учащихся. В этом разделе есть четыре трудных для усвоения теоремы: 1) об объеме прямоугольного параллелепипеда; 2) об объеме пирамиды; 3) об объеме цилиндра; 4) об объеме тела, полученного вращением криволинейной трапеции [21].

Выводы формул для вычисления объема каждого вида многогранника, цилиндра, конуса проводятся разными методами, что вызывает значительные трудности при их воспроизведении.

Предлагаемая мною система изучения этого раздела устраняет недостатки и создает условия для усвоения основной идеи измерения фигур в пространстве: объем фигуры может быть найден с помощью вычисления интеграла от определенным образом заданной функции.

С целью осуществления такого подхода к измерениям пространственных фигур предлагается посвятить несколько уроков обобщению изученного ранее материала об измерении отрезков и плоских фигур (о длинах и площадях) и ввести аналогичным образом измерение пространственных фигур. Рассмотрим их содержание более подробно.

Урок 1

Тема урока: обобщение свойства длин отрезков и площадей плоских фигур.

Цель урока: повторить свойства длин отрезков и площадей фигур, провести необходимые аналогии.

В начале урока необходимо повторить таблицу метрической системы мер длины, площади и объемов. Для этого удобно заготовить такую таблицу заранее (если ее нет в кабинете) и вывесить ее перед учениками (Приложение 4).

Упражнения для повторения свойств площадей фигур:

1. На рис. 11 изображен отрезок АВ. Найдите длину отрезка АВ, считая единицей измерения: а) сторону одной клетки; б) 1 см (отрезок CD); в) отрезок EF.

При решении этой задачи следует акцентировать внимание учащихся на том, что длина одного и того же отрезка может выражаться разными числами в зависимости от выбора единицы измерения. Но если единица измерения уже выбрана, то длина отрезка есть единственное число. При этом длина отрезка всегда положительна.