Квадратным уравнением называется уравнение вида bx + c = 0, где х - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а . Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения [1, 98].

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других типов уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

· делать проверку.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

При изучении темы "Квадратные уравнения" рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г. Мордкович, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, М.И. Башмаков (Приложение 6)

Можно сделать следующие выводы:

1) во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова.

2) в учебнике под ред.М.И. Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет.

3) в учебниках алгебры С.М. Никольского и Ю.Н. Макарычева при изучении темы "Квадратные уравнения" рассматриваются прямая и обратная теорема Виета.

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа [5,131] обусловливает постепенное накопление как их видов, так и "фонда" тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы "Квадратные уравнения":

I этап - "Решение неполных квадратных уравнений".

II этап - "Решение полных квадратных уравнений".

III этап - "Решение приведенных квадратных уравнений".

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где а ≠ 0 и с≠ 0, ах2 + bх = 0, где а ≠ 0 и

b ≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Еслиах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) найти х2;

2) найти х.

Например, 5х2 = 0. Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.

2. Еслиах2 +с = 0,с ≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х2 - 5 = 0, Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два и - . Таким образом, уравнение х2 - 5 = 0 имеет два действительных корня: x1 =, x2 = - и других действительных корней не имеет.

3. Если ах2+ bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) вынести общий множитель за скобки;

2) найти x1, x2.

Например, х2 - 3х = 0. Перепишем уравнение х2 - 3х = 0 в виде х (х - 3) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х (х - 3) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = - ;

3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду

ах2 = - с и далее х2. = - В случае, когда - < 0, уравнение х2 = - не имеет действительных корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня = , = - , в этом случае допускается более короткая запись = . Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a,b,c - заданные числа, а ≠ 0, х - неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Дискриминант уравнения равен: D = p2 - 4q. Рассматриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0 не имеет действительных корней. Например, 2х2 + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7. D = b2 - 4ас = 42 - = 16 - 56 = - 40. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.