Если x – действительное число, Х – случайная величина, а F(x) – вероятность того, что X<x, тогда F(x)=P(X<x). Пусть S=x, а В – страховой фонд (сумма нетто премий), тогда F(B)=P(S<B)>=y, или F(B)>=y. То есть, функция распределения случайной величины должна принимать значения большие или равные y. В свою очередь плотность распределения определяется следующим образом: f(x)=F’(x) => f(B)=F’(B).

Для того, чтобы определить размер фонда, который бы с вероятностью y обеспечивал финансовую устойчивость страховщика, необходимо найти такую величину В, при которой функция распределения F(B) случайной величины S будет больше или равна y. Для этого необходимо:

1) Найти закон распределения случайной величины S.

2) Решить приведенное выше неравенство, относительно В.

3) Вычислить отдельную нетто-премию (страховой тариф.

Допустим:

1. Что наступление одного события не зависит от наступления другого, тогда все события ведущие к страховым выплатам (убыткам) – события независимые.

2. Что в массовых рисковых видах страхования ущербы по рискам не сильно отличаются друг от друга, поэтому можно предположить, что рассеяние выплат по ущербам не будет велико, а, следовательно, наиболее вероятные размеры выплат не будут сильно отличаться друг от друга. Тогда, числовые характеристики ущербов (Vi) будут одинаковы:

- Математическое ожидание выплат: mv = mv1=mv2=…=mvN.

- Среднее квадратическое отклонение выплат:

Случайная величина S представляет собой сумму очень большого числа других случайных величин (Vi), влияние каждой из которой не оказывает сильного влияния на S. Тогда согласно центральной предельной теореме (Ляпунова) величина S распределена по нормальному закону:

1. Математическое ожидание случайной величины S:

2. Cреднее квадратическое отклонение случайной величины S:

3. По определению, нормальное распределение описывается плотностью:

4. Так как дифференцирование – действие обратное интегрированию, то функция распределения задается формулой:

5. Для того, чтобы можно было решить приведенное выше неравенство, необходимо привести функцию распределения S к другому виду, что позволит пользоваться табличными значениями. Для этого введем новую переменную z.

6.

7. Тогда,

8. Табличная функция Лапласа:

9. В итоге получим:

10. Можно предположить, что

11. По определению функция распределения является неубывающей, поэтому: , значение g определяется из таблицы значений Ф(g). Однако, предварительно необходимо найти Ф(-M/s), задать y, и определить M b s.

12. Убыток страховщика по i-тому договору представляет собой случайную величину Vi, которая распределена следующим образом:

- Если страховой случай не наступил (вероятность такого события равна 1-q), тогда выплата по договору i равна 0.

- Если страховой случай наступил (вероятность такого события равна q), то выплата по данному договору может принять любое значение из интервала (0,Vi), в зависимости от тяжести ущерба. Для массовых рисковых видов страхования наступление мелких ущербов чаще, чем наступление крупных, то есть величина ущерба Vi описывается плотностью вероятности f(Vi)=k*e-kVi (показательное распределение), где k- постоянная положительная величина, задающая определенный уровень ущербов. Если величина ущербов распределена по данному закону, математические характеристики ущербов определяются так:

- - математическое ожидание величины ущерба.

- - дисперсия и среднее квдратическое отклонение, соответственно.

13. Ущерб Vi характеризуется двумя вероятностями, следовательно, он задается двумя законами распределения. Каждая величина ущерба имеет свое математическое ожидание (наиболее вероятное значение) и среднее квадратическое отклонение, которые у всех ущербов одинаковые, так как застрахованные объекты достаточно однородны. Кроме этого наступление страхового случая – величина также случайная. Поэтому математическое ожидание того, что случай ущерба Vi не наступит определяется так: mv=q*hi, где hi-математическое ожидание величины ущерба Vi. А среднее квадратическое отклонение:

14. Для общей суммы ущерба математические характеристики вычисляются по формулам:

-

- .

15. Размер страхового фонда определяется неравенством - . Подставим сюда известные значения:

16. Зная минимальный размер страхового фонда можно определить минимальную нетто-премию или страховой тариф. Логика данного заявления следующая;

- Страховой фонд состоит из страховых премий по всем N договорам =>

- Страховая премия определяется как произведение страхового тарифа на страховую сумму по данному договору:

- Страховой тариф одинаков по всем договорам, поэтому:

- Вместо отдельных страховых сумм по каждому договору удобнее использовать среднее ее значение, что позволяет однородность рисковых событий, тогда:

- Откуда: , где , а

- Условно можно предположить, что U1 –основная часть нетто-ставки, а U2 – рисковая надбавка.

Практический подход к расчету тарифных ставок.

Расчет тарифных ставок производится по группам страхуемых объектов в соответствии с разработанной тарифной системой. В результате данного расчета страховщик должен получить для каждой группы базовую тарифную ставку (брутто). Выше была выведена формула расчета брутто-ставки: , где Т – нетто-ставка, f – доля нагрузки в брутто ставке. Доля нагрузки принимается одинаковой для всех тарификационных групп в рамках одного страхового продукта.