Тот факт, что целевой функционал основной задачи оптимизации не является строго выпуклым, допускает, что решение не может в общем случае быть единственным. Решение основной задачи оптимизации всегда единственно тогда и только тогда, когда корреляционный вектор на границе Е имеет единственное спектральное представление. В случае временной последовательности каждый такой имеет единственное спектральное представление, как сумма М или меньшего числа импульсов[5].

Пример 4.1: Случай временной последовательности, . Как и в примере 3.1, каждый положительный полином может быть факторизован в виде для некоторого тригонометрического полинома М-той, степени и следовательно могут быть равными нуля не более, чем в М точках. Спектр , следовательно, должен быть суммой импульсов в этих точках. Кроме того, поскольку возможно построить положительный полином, который равен нулю в произвольно выбранных точках и нигде больше, то отсюда следует, что имеет единственное спектральное представление в виде суммы импульсов в общих нулях всех положительных полиномов так что .

В более широком смысле, теорема продолжимости совместно с теоремой Каратеодори [16] показывает, что имеется по крайней мере одно спектральное представление в виде суммы не более чем 2М импульсов.

Теорема представления: Если , то существует и , так что

(4.7)

Доказательство теоремы представления можно найти в Приложении В. Это представление и, таким образом, решение основной задачи оптимизации могут быть не единственными. Дальнейшее обсуждение этой проблемы единственности можно найти в Приложений С.

Если и местоположения импульсов в единственном решении могут быть определены для данного , то амплитуды импульсов могут быть вычислены просто путем решения набора линейных уравнений. А сейчас мы получим двойственную задачу оптимизации, которая дает и , так что . Тогда, если имеет единственное спектральное представление, местоположения импульсов могут быть определены по нулям . Из теоремы продолжимости следует

(4.8)

Так как и , то отсюда следует, что и для всех . Кроме того, так как для некоторого , то отсюда следует, что

(4.9а)

на множестве

(4.9b)

и минимум достигается при . Решение этой двойственной задачи может не быть единственным даже в случае временной последовательности, когда она сводится к задаче собственного вектора, полученной Писаренко, и приводит к интерпретации метода Писаренко в виде определения сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов.

Пример 4.2 : Случай временной последовательности, . Как в примере /3.1/

.

Кроме того, если соответствует белому шуму единичной мощности,

.

Таким образом, двойственная задача оптимизации сводится к нахождению собственного вектора теплицевой матрицы, связанного с , соответствующего наименьшему собственному значению. Если имеется несколько таких собственных векторов, импульсы располагаются в общих нулях соответствующих полиномов. Любой нормированный собственный вектор, соответствующий минимальному собственному значению, дает коэффициенты сглаживающего фильтра, сумма квадратов величин которых ограничена единицей, что дает наименьшую выходную мощность при наличии входного процесса, корреляции которого описываются [17].

1.4.2 Вычисление оценки Писаренко

При разработке алгоритмов вычисления оценки Писаренко можно столкнуться с дискретной спектральной основой

Для такой основы основная задача /4.4/ может быть переписана в виде линейное программы стандартного вида

(4.11з)

так что для

(4.11b)

с N переменными и 2М ограничениями. Минимум равен и достигается для . Основная теорема линейного программирования 18 эквивалентна теореме представления в этом случае. При условии, что для этой линейной программы существует решение, как показано в предыдущем разделе, основная теорема гарантирует решение, в котором не более, чем 2М из не равны нулю, так называемое, базовое решение.