1.4 Метод Писаренко

Писаренко описал метод спектральной оценки временной последовательности, в котором спектр моделируется в виде суммы импульсов штос компонента белого шума [5]. Если компонента белого шума выбирается настолько большой, насколько это возможно, то, как он показал, положение и амплитуды импульсов, необходимые для согласования измеренных корреляций, определяются единственным образом. Метод Писаренко будет выведен для более обшей ориентации ИП и для более общей шумовой компоненты. Связь метода Писаренко с вопросом продолжимости будет продемонстрирована.

Продолженная оценка Писаренко будет получена как решение задачи оптимизации, включающей минимизацию линейного функционала над выпуклой областью, определенной линейными ограничениями.

Решение этой задачи оптимизации существует всегда, но оно может быть не единственным. Получается задача двойственной' оптимизации, которая для случая временных последовательностей приводит к знакомой интерпретации метода Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов. И опять, решение этой двойственной задачи существует всегда, но может быть не единственным.

Рассматриваются алгоритмы для вычисления по методу Писаренко. Основная задача оптимизации записывается, для спектральной основы, состоящее из конечного числа точек, в воде линейной программы стандартного вида. Рассматривается применение симплекс-метода для решения этой основной линейной программы. Представлена двойственная линейная программа. Рассматриваются также возможность создания вычислительных алгоритмов, более быстрых, чем симплекс-метод.

1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков

Основой метода Писаренко является однозначное разложение /рис.6/ корреляционного вектора на сумму масштабированного вектора корреляции шума , во внутренней части Е, и остаток на границе Е

(4.1)

Допущение о том, что находится в подразумевает, что такое разложение произвольного вектора существует и единственно. Рассмотрим однопараметрическое семейство корреляционных векторов

(4.2)

Для достаточно положительного не должен быть продолжаемым, а для достаточно отрицательного должен быть продолжимым, так как допущение, что подразумевает, что Е содержит окрестность . Выпуклость Е означает, что имеется некоторое наибольшее число , такое, что является продолжимым. Поскольку имеются произвольно близко к непродолжимые векторы, должен быть на границе Е. Кроме того, поскольку тогда и только тогда, когда продолжим, это разложение может 'быть использовало в качестве теста продолжимости.

Это однозначное разложение может быть сформулировано в виде основной задачи линейной оптимизации на всех положительных спектрах мощности. Отметим, что имеет по крайней мере , одно положительное спектральное представление и, что из /4.1/ для следует

(4.3)

Утверждение того, что является наибольшим числом, так что остаток продолжаем, приводит к линейной задаче оптимизации

(4.4з)

так что

(4.45)

Максимум равен и он достигается .

Поскольку продолжаемо, оно соответствует некоторой положительной мере . Следовательно /4.1/ принимает вид

(4.5)

Если , то является положительной мерой, которая согласует корреляционные измерения и которая имеет наиболее возможную шумовую компоненту.

Некоторая дополнительная информация относительно остатка и его спектрального представления может быть получена. находится на границе Е; следовательно, он дает нулевое внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом

(4.6)

Из этого следует, что основа должна быть на нулевом множестве . Или более точно, основа любого спектрального представления должна быть на пересечении нулевых множеств всех положительных полиномов, которые образуют нулевое внутреннее произведение с . Это предполагает окончательный шаг в выводе метода Писаренко; а именно, объединение остатка с импульсным спектром. ^ .