Теперь, когда нам известны все коэффициенты, можем записать вид собственной функции, используя (48):

Вычисления собственных функций и собственных значений для других значений смотрите в приложении.

3. Анализ результатов.

В данной работе были найдены собственные значения и собственные функции для колебаний в трубе при наличии осевого градиента температуры для пяти значений έ. На рис.2 показана зависимость квадратного корня из собственного числа от e. Видно, что с увеличением έ происходит уменьшение собственных чисел задачи. На рис.3 показано распределение давления по длине трубы при различных e. Можно сказать, что с увеличением έ происходит понижение абсолютного значения собственной функции, а также смещение нуля функции в сторону меньших x. Сдвиг нуля функции влево увеличивается с ростом έ.

Рис.2: Зависимость(έ).

Рис.3: Распределение давления по длине трубы.

1 – έ = 0, 2 – έ = 0.1, 3 – έ = 0.2, 4 – έ = 0.3, 5 – έ = 0.4, 6 – έ = 0.5.

Выводы.

1. Получено уравнение, описывающее высокочастотные резонансные колебания давления неоднородного газа в трубе.

2. Выполнен приближенный расчет собственных чисел и собственных функций этого уравнения для пяти значений ε.

3. Показано, что рост неоднородности вызывает уменьшение собственных чисел задачи и изменение формы собственных функций.

Литература.

1. Chester W., Resonant oscillations in closed tube //J. Fluid Meck. 1964. V. 18. 1p. 44-64.

2. Галиуллин Р.Г., Мурзаханова А.З., Ревва И.П. Влияние поглощения на нелиинейные колебания газа в полуоткрытой трубе. // Акустический журнал 1990 ст. 36 №6 с. 973-977.

3. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П., Конюхов А.А. Теория нелинейных колебаний в закрытой трубе с учетом термоакустических эффектов. // ИФЖ. 1983 т.45 №2, с.267-271.

4. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Пермяков Е.И. Влияние поглощения на нелинейные колебания газа в закрытой трубе. // ИФЖ, 1995 т.68 №3 с. 408-415.

5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.4 М. ГИТТЛ, 1957, 812с.

6. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Ларионов В.М. Резонансные колебания газа в трубе при наличии осевого градиента температуры.

7. Rott N. Thermoacuostics // Adv. Appl. Mech. 1980 № 20, p. 135-175.

8. Шлихтинг Г. теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 711с.

9. Корн Г., Корн Т. Справочник для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968, 720с.

10. Мэтьюз Дж., Уокер Р. математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972, 397с.

11. Арсенин В.Я. Методы математической физики и спецфункции.

Приложение 1.

e = 0,2:

С изменением e из рассмотренных выше интегралов, составляющих функционал, изменяется только интеграл (50). Поэтому запишем новые коэффициенты для J2 при e = 0.2.

0,001953107

0,004317646

0,002742385

0,001371192

0,001737024

0,000572692

Сложим J1, J2:

Запишем общий вид функционала:

Возьмем производные:

Запишем определитель:

Посчитав определитель, получим уравнение:

Разделив на коэффициент при последнем члене, получим:

где

Найдем l*:

Наиболее важной здесь является l2. Запишем систему уравнений с учетом l2.

Рассмотрим уравнения попарно:

1)

Проверив точность, получим:

2)

3)

Из условия нормировки найдем а1:

а1 = -21.00601156

Запишем остальные коэффициенты:

а0 = 1.345077442 (из (57))

а3 = 42.90708715

а5 = -24.35258372

В итоге собственная функция примет вид:

Р = 1.345077442-10.50300578х2 + 15.97827468х4 – 11.20994515х6 +

+ 3.044072965х8

e = 0.3

0,002929661

0,006476469

0,004113577

0,002056788

0,002605536

0,000859039

Запишем общий вид функционала:

Возьмем производные:

Запишем определитель:

Посчитав определитель, получим уравнение:

Разделив на коэффициент при последнем члене, получим:

где

Найдем l*:

Наиболее важной здесь является l2. Запишем систему уравнений с учетом l2.