(40)

Подстановка (40) в первое из граничных условий дает:

,

,

.

Подстановка (40) во второе из граничных условий дает:

,

с1=0,

соответственно

,

,

Для .

Подставляя найденные значения в выражение (40), получим:

(41)

Определим константу с2 из условия нормировки:

(42)

таким образом:

. (43)

Запишем функционал (37) для случая равномерного распределения температуры:

(44)

В нашем случае (неравномерное распределение температуры) рассмотрим следующий функционал:

, (45)

где

(46)

В качестве пробных функций удобно выбрать полиномы так, чтобы выполнялись граничные условия (34). В этом случае

(47)

Таким образом

(48)

Теперь займемся вычислением функционала. Для удобства разобьем его на три интеграла:

(49)

(50)

. (51)

Вычислим (49). Сначала рассмотрим подынтегральную часть:

А теперь проинтегрируем полученное выражение. В результате имеем:

Соберем коэффициенты при ai:

Интеграл (49) вычислен и имеет вид:

(52)

Далее вычислим интеграл (50). Его можно записать в виде суммы интегралов.

Вычислим каждый интеграл, используя следующие формулы:

Сделаем замену

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

В итоге интеграл (50) примет вид:

(53)

Вычислим (51):

,

где

(54)

Теперь рассмотрим каждую скобку по отдельности.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Соберем коэффициенты при ai