Интеграл ЛебегаРефераты >> Математика >> Интеграл Лебега
Si ® (L) .
Но в таком случае
Si - si ® (L) .
С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было Si – si ® 0.
Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было
(L) = 0. (1)
Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из (1) следует, что
т(х) ~ М(х). (2)
Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равносильна соотношению (2).
Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.
Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.
Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет
т(х) = М(х).
Но ведь
т(х) £ f(x) £ М(х).
Значит, почти везде
f(x) = m(x),
и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.
Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L) = (L) .
Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет
si ® (R),
где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,
si ® (L) ,
мы видим, что
(R) = (L) .
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
В заключение отметим, что функция Дирихле y(x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.
6. Примеры
1) Вычислить интеграл Лебега от функции на интервале (1; 2).
Строим срезку
N, f(x) ³ N,
fN(x) =
f(x), f(x) < N.
= N,
x = 1 + .
= ,
= + = Nx + = N - N + -
- = + - = - + ,
= = ,
(L) = .
2) Суммируемы ли функции и на интервале (0; 1).
f(x) = .
Строим срезку
= N,
x = .
= + = + = 1 - = 1 + ,
= = (1 + ) = +¥,
значит функция f(x) = суммируемой не является.
f(x) = .
Строим срезку
= N,
x = .
= + = - = - (1 - ) = - 1 + =