ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ

Мы рассмотрели пока лишь вопрос о траекто­рии луча в оптически неоднородной среде и сфор­мулировали алгоритм расчета этой траектории. Теперь рассмотрим, как определяется траектория материальной точки массы m, движущейся в потен­циальном поле U(х,у,z). Ее полная энергия скла­дывается из кинетической и потенциальной и со­храняется (в силу закона сохранения энергии) в процессе движения

(4.6)

где V — абсолютная величина мгновенной скорости.

Напомним, что потенциальная энергия опреде­ляется как работа по перемещению тела из данного положения в некоторую другую точку, в которой по­тенциальная энергия принимается за нуль. В про­стейшем, известном из школьного курса случае для потенциальной энергии в однородном поле тяжес­ти имеем

(4.7)

Здесь координата z определяет высоту подъема над поверхностью Земли, принимаемую за уровень, для которого потенциальная энергия полагается равной нулю. Более точное выражение для потенциальной энергии тела над поверхностью Земли следует из за­кона всемирного тяготения

; (4.8)

где — постоянная всемирного тяготения, m - мас­са тела, М — масса Земли, R - радиус Земли, r - рас­стояние от поверхности Земли. В данном случае нуль потенциальной энергии выбирается в беско­нечно удаленной точке.

Для нас будет важно в дальнейшем, что при движении в потенциальном поле при заданном на­чальном значении энергии абсолютная величина скорости однозначно определяется, согласно (4.6), положением материальной точки в пространстве:

(4.9)

Для простоты дальнейшего изложения рассмот­рим случай, когда сила, действующая на материаль­ную точку, всюду имеет одинаковое направление, как в первом примере, но может изменяться по ве­личине, как во втором примере. В этом случае по­тенциальная энергия будет зависеть только от од­ной координаты, которая отсчитывается вдоль направления, по которому направлена сила.

Аналогично тому, как мы делали при рассмотре­нии траектории луча, разобьем пространство на слои в направлении, перпендикулярном направле­нию силы. В каждом слое скорость материальной точки будем считать приближенно постоянной.

Пусть материальная точка массы m, имеющая скорость V1 пересекает границу первого и второго слоев. Во втором слое скорость частицы V2. Соглас­но второму закону Ньютона,

, (4.10)

где — время прохождения первого слоя.

Заметим, что, согласно (4.10), составляющая ско­рости, перпендикулярная силе, не изменяется. Поэтому движение частицы будет происходить в одной плоскости, проходящей через направление начальной скорости и направление силы. Это утверждение представляет собой аналог первой части закона преломления.

Выберем в плоскости движения декартову сис­тему координат (х,у), причем ось Оу выберем вдоль направления силы. Тогда из (4.10) следует

(4.11)

где V1x, V1y, V2x, V2y - проекции скорости в первом и втором слоях на выбранные оси координат, F — со­ставляющая силы вдоль оси Оу. Первое уравнение (4.11) можно заменить на

(4.12)

где и - углы, которые образуют скорости в пер­вом и втором слоях с направлением силы. А это как раз аналог второй части закона преломления, выражаемой формулой (4.1 а).

Напомним еще раз, что в каждом слое абсолют­ная величина скорости однозначно определена. Поэтому угол , под которым скорость направлена к действующей силе в каждом слое, может быть найден с помощью закона преломления (4.12) по углу . Таким образом, для определения траектории материальной точки получается тот же алгоритм, что и для определения траектории луча (рис. 3).

Отметим, что роль показателя преломления в рассматриваемом случае играет величина скорости. Очевидно, что траектория луча и траектория части­цы будут в точности совпадать, если показатель преломления пропорционален скорости и направ­ление луча в начальной точке совпадает с направле­нием скорости. Согласно (4.9), первое условие может быть выражено равенством

, (4.13)

где - произвольный положительный коэффици­ент пропорциональности.

Если мы хотим найти одно из возможных потен­циальных полей, в котором частица движется по та­кой же траектории, что и луч в заданной неоднород­ной среде, то это проще сделать для случая Е = 0. Тогда

. (4.14)

При этом потенциальная энергия U(y) должна быть отрицательной. Величина произвольна. Из ска­занного выше следует, что она не должна влиять на траекторию. На что же она влияет? Так как пока­затель преломления является безразмерной вели­чиной, то очевидно, что зависит от выбираемой единицы энергии. Если масштаб координаты фиксирован, то изменение единиц энергии можно достичь изменяя единицы массы и времени. Таким образом, изменение можно интерпретировать как переход к случаям движения частиц с другими массами или при фиксированной массе в другом масштабе времени (быстрее или медленнее). При определенном выборе единиц величину можно положить равной 1.

Таким образом, сформулированная выше опти­ко-механическая аналогия доказана. Правда, она доказана для случая силы, имеющей постоянное направление в пространстве. Но это не умаляет общности результата, поскольку в достаточно ма­лой окрестности направление силы можно считать фиксированным, а оптическую среду – слоисто-однородной.