3. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Задачи оптимального управления относятся к теории экстремальных задач, то есть задач опреде­ления максимальных и минимальных значений. Уже то обстоятельство, что в этой фразе встретилось несколько латинских слов (maximum наиболь­шее, minimum - наименьшее, extremum - крайнее, optimus - оптимальное), указывает, что теория экс­тремальных задач была предметом исследования с древних времен. О некоторых таких задачах писа­ли еще Аристотель (384-322 годы до н.э.), Евклид (III в. до н.э.) и Архимед (287-212 годы до н.э.). Ос­нование города Карфагена (825 год до н.э.) легенда ассоциирует с древнейшей задачей определения за­мкнутой плоской кривой, охватывающей фигуру максимально возможной площади. Подобные зада­чи именуются изопериметрическими. Характерной особенностью экстре-мальных задач является то, что их постановка была порождена актуальными за­просами развития общества. Более того, начиная с XVII века доминирующим становится представле­ние о том, что законы окружающего нас мира явля­ются следствием некоторых вариационных прин­ципов. Первым из них был принцип П. Ферма. Ферма сформулировал метод исследова­ния на экстремум для полиномов, состоящий в том, что в точке экстремума производная равняется нулю. Для общего случая этот метод получен И. Ньютоном (1671) и Г.В.Лейбницем (1684), работы которых зна­менуют зарождение математического анализа.

Начало развития классического вариационного исчисления датируется появлением в 1696 году ста­тьи И. Бернулли (ученика Лейбница), в которой сформулирована постановка задачи о кривой, со­единяющей две точки А и В, двигаясь по которой из точки А в В под действием силы тяжести материаль­ная точка достигнет В за минимально возможное время. В рамках классического вариационного ис­числения в XVIII-XIX веках установлены необхо­димые условие экстремума первого порядка (Л. Эй­лер, Ж.Л. Лагранж), позднее развиты необходимые и достаточные условия второго порядка (К.Т.В. Вейерштрасс. A.M. Лежандр, К.Г.Я. Якоби), построены теория Гамильтона—Якоби и теория поля (Д. Гиль­берт, Л. Кнезер).

Дальнейшее развитее теории экстремальных за­дач привело в XX веке к созданию линейного про­граммирования, выпуклого анализа, математичес­кого программирования, теории минимакса и некоторых иных разделов, одним из которых явля­ется теория оптимального управления. Эта теория подобно другим направлениям теории экстремаль­ных задач, возникла в связи с актуальными задачами автоматического регулирования в конце 40-х годов (управление лифтом в шахте с целью наискорейшей остановки его, управление движением ракет, стаби­лизация мощности гидроэлектростанций и др.).

Заметим, что постановки отдельных задач, ко­торые могут быть интерпретированы как задачи оптимального управления, встречались и ранее, например в «Математических началах натуральной философии» И. Ньютона (1687). Сюда же относятся и задача Р. Годдарда (1919) о подъеме ракеты на за­данную высоту с минимальными затратами топлива и двойственная ей задача о подъеме ракеты на макси­мальную высоту при заданном количестве топлива.

За прошедшее время были установлены фунда­ментальные принципы теории оптимального управ­ления: принцип максимума и метод динамического программирования. Указанные принципы пред­ставляют собой развитие классического вариацион­ного исчисления для исследования задач, содержа­щих сложные ограничения на управление. Сейчас теория оптимального управления переживает пери­од бурного развития как в связи с наличием трудных и интересных математических проблем, так и в свя­зи с обилием приложений, в том числе и в таких об­ластях, как экономика, биология, медицина, ядер­ная энергетика и др.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Постановка любой конкретной задачи оптимального управления включает в себя ряд факторов: математическую модель управляемого объекта, цель управления (именуемую иногда критерием ка­чества), различного рода ограничения на траекто­рию системы, управляющее воздействие, длитель­ность процесса управления, класс допустимых управлений и т.д. Остановимся на этих факторах подробнее.

1.1. Модели объекта

В зависимости от вида рассматриваемого явле­ния и желаемой степени детализации его изучения могут быть использованы различные типы уравне­ний: обыкновенные дифференциальные уравне­ния, уравнения с последействием, стохастические уравнения, уравнения в частных производных и т.д. Предположим ради определенности, что эволюция объекта описывается системой обыкновенных диф­ференциальных уравнений

(3.1)

Здесь - управление, фазовый вектор системы, - заданная функция, - евклидо­во пространство размерности n. Придавая управле­нию u различные возможные значения, получаем различные состояния объекта, среди которых и вы­бирается оптимальное (то есть наилучшее) в том или ином смысле.

Пример 1. Рассмотрим прямолинейное дви­жение тела постоянной массы m под действием уп­равляющего воздействия u, создаваемого установ­ленным на теле двигателем. Обозначим через х координату центра масс тела и предположим, что никакие другие силы на тело не действуют. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона уравне­ние движения тела имеет вид . Последнее уравнение эквивалентно системе двух уравнений первого порядка , .

Пример 2. Охота, рыбная ловля, вырубка леса и т.д. представляют собой способы управления окру­жающей средой. Рассмотрим популяцию, числен­ность которой x(t) в момент t регулируется с помо­щью управляющего воздействия u. Тогда для моделирования изменения х(t) может быть исполь­зовано уравнение П.Ф.Ферхюльста (1836)

(3.2)

где и К - положительные параметры. Уравнение (3.2) возникает при моделировании рака костного мозга (миеломы), в этом случае x(t) - количество клеток миеломы, а член ux(t) отражает предположе­ние, что больные клетки погибают прямо пропор­ционально концентрации введенного лекарства и размеру опухоли. Иногда более удовлетворительно­го соответствия можно достичь, если использовать уравнение (3.2) с запаздыванием n > 0

которое именуется уравнением Г.Е. Хатчинсона (1948).

Иные модели управления численностью попу­ляций описываются уравнениями в частных произ­водных, уравнениями В. Вольтерра, стохастически­ми уравнениями и др. и учитывают такие факторы, как миграцию, неоднородность плотности расселе­ния, неоднородность по возрастам и т.д.