Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно показать, что если области j(u1,u2) не пересекаются, то площадь области j(u1,u2) не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область j целиком содержится в квадрате

‌ x1‌ ≤ X, |x2| ≤ X,

при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади ограничена.

Пусть U — достаточно большое целое число. Существует (2U + 1)2 областей j(u1,u2), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам

‌ u1‌ ≤ U, |u2| ≤ U.

Все эти области целиком находятся в квадрате

‌ x1‌ ≤ U + X, |x2| ≤ U + X,

площадь которого равна

4 (U + X)2.

Так как предполагается, что области j(u1,u2) не пересекаются, то имеет место неравенство

(2U + 1)2V £ 4(U + X)2,

где V – площадь области j, а значит, и любой области j(u1,u2). Устремляя теперь U к бесконечности, мы получаем неравенство V £ 1, что и требовалось доказать.

Решётки.

Преобразование координат в приведённом примере с определённой бинарной квадратичной формой может привести и к другой точке зрения. Мы можем представить форму f(x1,x2) как сумму квадратов двух линейных форм

f(x1, x2) = Х12 + Х22, (3)

где

Х1 = ax1 + bx2, X2 = gx1 + dx2, (4)

a,b,g,d - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить

a = a111/2, b = a11-1/2a12,

g = 0, d = a11-1/2D1/2.

Обратно, если a,b,g,d - такие вещественные числа, что ab - gd ¹ 0, и формы Х1, Х2 заданы равенствами (4), то выражение

Х12 + Х22 = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22,

где

a11 = a2 + g2,

a12 = ad + bg, (5)

a22 = b2 + d2,

является положительно определен­ной квадратичной формой с определителем

D = a11a22 – a122 = (ad - bg)2. (6)

Теперь будем рассматривать пару (Х1, Х2) как систему пря­моугольных декартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х1, Х2), соответствующие целым (x1, x2) в выражениях (4), образуют (двумерную) решетку L. В векторных обозначениях решетка L есть совокупность точек

(Х1, Х2) = u1(a,g) + u2(b,d), (7)

где u1, u2 пробегают все целые числа; точки (векторы) (a,g) и (b,d) образуют базис решётки L.

Рассмотрим теперь более подробно свойства решеток. Ввиду того, что мы рассматриваем решетку L просто как множество точек, мы можем её описать с помощью различных базисов. Например, пара

(α – β, γ – δ), (- β, - δ)

является другим базисом решётки L. Фиксированный базис (α, β), (γ, δ) решётки L определяет разбиение плоскости двумя семействами равноудалённых параллельных прямых; первое семейство состоит из тех точек (Х1, Х2), которые имеют координаты вида (7), где u2 – любое целое число, а u1 – любое вещественное. Для линий второго порядка семейства u1 и u2 меняются ролями. Таким образом, плоскость разбивается на параллелограммы, вершинами которых являются как раз точки решётки L.

Разумеется, что это разбиение зависит от выбора базиса. Однако, можно показать, что площадь получаемых параллелограммов, именно число

|αδ – βγ|,

не зависит от выбора базиса. Это становится возможным, если показать, что число N(X) точек решётки в достаточно большом квадрате

ζ (Х): |Х1| ≤ Х, |Х2| ≤ Х

удовлетворяет соотношению

N(X) / 4X2 → 1 / |αδ - βγ| (X → ∞).

Действительно, рассмотрение идей доказательства теоремы Минковского о выпуклом теле, которое было приведено в кратком виде выше, показывает, что число точек решётки L в квадрате ζ (Х), грубо говоря, равно числу параллелограммов, находящихся в этом квадрате. А это число, в свою очередь, приблизительно равно площади квадрата ζ (Х), делённой на площадь |αδ - βγ| одного параллелограмма. Строго положительное число

d (L) = |αδ - βγ| (8)

называется определителем решётки L. Как было только что показано, это число не зависит от выбора базиса.

Критические решётки.

Используя введённые выше новые понятия, можно заметить, что утверждение о существовании целых решений неравенства f(х1,х2) £ (4D/3)1/2 эквивалентно утверждению о том, что любая решётка L в области

Х12 + Х22 ≤ (4/3)1/2 d(L) (9)

имеет точки, отличные от начала координат. В силу однородности это в свою очередь эквивалентно утверждению, что открытый круг

Đ: Х12 + Х22 < 1 (10)

содержит точку каждой решётки L, для которой d(L) < (3/4)1/2. А тот факт, что существуют такие формы, для которых в (2) знак равенства необходим, эквивалентен существованию решётки Lс с определителем d(Lс) = (3/4)1/2, не имеющей точек в круге Đ. Таким образом, задача о произвольной определённой бинарной квадратичной форме эквивалентна задаче о фиксированной области Đ и произвольной решётке. Аналогично исследование решёток с точками в области

| Х1 Х2| < 1

даёт информацию о минимумах inf |f(u1,u2)| неопределённых бинарных квадратичных форм f(x1,x2). Здесь точная нижняя граница берётся по всем целым числам u1 и u2, не равным одновременно нулю. Примеры можно продолжить.

Подобные рассмотрения приводят к следующим определениям. Говорят, что решётка L допустима для области (точечного множества) Â в плоскости {Х1,Х2} если она не содержит никаких других точек Â, кроме, может быть, начала координат. Последний случай возможен, когда начало координат является точкой области Â. Тогда мы говорим, что эта решётка Â-допустима. Точная нижняя грань Δ(Â) определителей d(Λ) всех Â-допустимых решёток является константой области Â. Если Â-допустимых решёток не существует, то полагаем, что Δ(Â) = ∞. Тогда любая решётка Λ, для которой d(Λ) < Δ(Â), обязательно содержит точку области Â, отличную от начала координат. Â-допустимая решётка Λ, для которой d(Λ) = Δ(Â), называется критической (для Â). Конечно, критические решётки, вообще говоря, существуют не всегда.

Важность критических решёток была замечена уже Минковским. Если Lс – критическая решётка области Â, а решётка Λ получена из Λс небольшой деформацией (то есть малым изменением пары базисных векторов), то либо решётка Λ имеет точку, отличную от начала координат и лежащую в области Â, либо d(Λ) ≥ d(Λс). Либо и то, и другое вместе.