примерный перечень экзаменационных вопросов

Математический анализ

1. Какими десятичными дробями представляются рациональные числа, иррациональные числа? Приведите примеры тех и других чисел.

2. Что называется: переменной величиной, областью значений переменной величины? Какая переменная величина называется последовательностью?

3. Какие типы интервалов на числовой оси Вы знаете? Чем они отличаются друг от друга?

4. Дайте определения функции одной переменной, ее области определения и области значений.

5. Дайте определение предела переменной величины.

6. Дайте определение предела функции в точке.

7. Что означает, что ?

8. Какая переменная величина называется бесконечно малой?

9. Перечислите основные свойства бесконечно малых и докажите одно из них (по Вашему выбору).

10. Перечислите основные свойства пределов и докажите одно из них (по Вашему выбору).

11. В чем состоит первый замечательный предел? Опишите также его содержание с точки зрения сравнения бесконечно малых.

12. Какой предел называется вторым замечательным? В чем его "замечательность"?

13. В чем состоит связь между понятиями предела и бесконечно малой?

14. Докажите теорему о единственности предела переменной величины.

15. Дайте определение бесконечно большой переменной величины и приведите пример такой величины.

16. Одна из двух бесконечно малых имеет более высокий порядок, чем другая. Объясните, что это означает?

17. Дайте определение эквивалентных бесконечно малых и докажите одно из свойств таких величин (по Вашему выбору).

18. Опишите задачу о касательной, приводящую к понятию производной.

19. Опишите задачу о скорости, приводящую к понятию производной.

20. Дайте определение производной. В чем состоит геометрический смысл производной?

21. Дайте определение производной и опишите ее механическую интерпретацию.

22. Докажите правило дифференцирования .

23. Докажите правило дифференцирования произведения.

24. Докажите правило дифференцирования сложной функции.

25. Дайте определение непрерывности функции в точке и докажите, что функция, дифференцируемая в , непрерывна в .

26. Дайте определение полного дифференциала функции в точке ; объясните его геометрический смысл и возможность использования в приближенных вычислениях.

27. Сформулируйте и докажите теорему об инвариантности формы дифференциала.

28. Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл.

29. Сформулируйте теорему Лагранжа и объясните ее геометрический смысл.

30. Докажите правило Лопиталя.

31. Дайте определение функции двух переменных, ее области определения и области значений.

32. Дайте определение частной производной для функции двух переменных и объясните ее геометрический смысл.

33. Какие функции двух переменных называются дифференцируемыми?

34. Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.

35. Дайте определение точки экстремума функции двух переменных и сформулируйте необходимый признак экстремума. В чем геометрический смысл этого условия?

36. Дайте определение точки экстремума функции двух переменных и сформулируйте достаточный признак экстремума.

37. Дайте определение производной по направлению функции (скалярного поля) двух переменных и выведите формулу для нее.

38. Что называется градиентом скалярного поля (в случае двух переменных)? Перечислите основные свойства градиента.

39. Что называется векторным уравнением пространственной кривой? Каков геометрический смысл производной векторной функции?

40. Дайте определение средней кривизны и кривизны в точке для плоской кривой.

41. Найдите .

42. Найдите .

43. Найдите .

44. Найдите .

45. Найдите .

46. Найдите область определения .

47. Найдите производную .

48. Найдите производную функции y = (3x)3x.

49. Дайте определение экстремума функции y = f(x), сформулируйте необходимый и достаточный признаки экстремума. В чем состоит геометрический смысл необходимого признака экстремума (Ферма). Найдите экстремумы функции .

50. Исследуйте возрастание и убывание функции y = 2x3 + 18x2 – 42x + 7. Какая функция называется убывающей, в чем состоит признак убывания? Какая функция называется возрастающей, в чем состоит признак возрастания?

51. Найти наибольшую площадь прямоугольного участка, периметр которого равен 200 м.

52. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x3 + 3x2 – 24x + 7 на интервале [0, 3].

53. Найти точки перегиба функции y = x4 + 6x2 – 8. Какая кривая называется выпуклой? Какая кривая называется вогнутой? Найдите интервалы выпуклости и вогнутости данной функции.

54. Дайте определение асимптоты. Когда у графика могут появляться вертикальные асимптоты? Найдите асимптоты у графика функции .

55. Вычислите функции . Не производя дальнейших вычислений, укажите чему равна и объясните почему.

56. Укажите область определения функции . Какие точки называются внутренними, а какие граничными для области?

57. Укажите область определения и семейство линий уровня функции . Что служит геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных?

58. Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности 4x2 + 3y2 + 5z2 = 1 в точке Р0.

59. Найдите и , если z = (x2 + 2x)y, а x = u + v, y = 3u – 2v.

60. Исследуйте на экстремум функцию .