С использованием введенной логической символики связь эквивалентности и импликации можно

представить так: «A↔B» означает «(A→B)&(A→B)».

Эквивалентность является отношением типа равенства. Как и всякое отношение, эквивалентность высказываний является рефлексивной (всякое высказывание эквивалентно самому себе), симметричной (если одно высказывание эквивалентно другому, то второе эквивалентно первому) и транзитивной (если одно высказывание эквивалентно другому, а другое – третьему, то превое высказывание эквивалентно третьему).

10. Логические законы тождества, противоречия и исключенного третьего

Закон тождества говорит: если каждое высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически: A→A, если A, то A. Например, если дом высокий, то он высокий» и т. п.

Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными. Закон противоречия выражается формулой: ~(A&~ A), неверно, что A и не-A. Если применять понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказыание не является вместе истинным и ложным. Иногда закон противоречия формулируют

следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным.

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным. Символически: A v~ A, A или не-A. Например: «Личинки мух имеют голову или не имеют ее». Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

11. Законы двойного отрицания, контрапозиции, приведения к абсурду и косвенного доказательства

Законом двойного отрицания называется закон логики, позволяющий отбрасывать двойное отрицание. Этот закон можно сформулироватьтак: отрицание отрицания дает утверждение, или: повторенное дважды отрицание дает утверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная не являтся бесконечной, то она бесконечна». В символической форме закон записывается так: ~ ~ A→A, если неверно, что не-A, то верно A.

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть второе» вытекает «если нет второго, то нет и первого», и наоборот. Символически:

(A→B)→(~B→~ A), если дело обстоит так, что если A, то B, то если не-B, то не-A;

(~B→~A)→(A→B), если дело обстоит так, что если не-B, то не-A, то если A, то B.

К примеру: из высказывания «Если есть следствие, то есть и причина» следует высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

К законам контрапозиции обычно относят также законы:

(A→~ B) →(B→~A), если дело обстоит так, что если A, то не-B, то если B, то не-A. Например, «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

(~ A →B) → (~B→ A), если верно, что если не-A, то B, то если не-B, то A. К примеру: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путем выведения из него абсурда, т. е. логического противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание В, так и его отрицание, то верным является отрицание А. Например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы, с другой, что у него нет углов; следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью». Закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A→B)&(A→~B)→~A, если (если А, то В) и (если А, то не-В), то не-А.

Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A→~A)→~A, если (если А, то не-А). Например, из положения «Всякое правило имеет исключения», которое само по себе является правилом, вытекает высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»; значит, последнее высказывание истинно.

Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. Например, «Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число отличное от самого себя и единицы, так и то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число. Символически закон косвенного доказательства записывается так:

(~A→~B)&(~A→~B)→A, если (если не-А, то В) и (если не-А, то не-В), то А.

Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:

(~A→(B& ~B))→A, если (если не-А, то В и не-В), то А. К примеру: «Если из того, что 10 не является простым числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число».

12. Законы де Моргана

Законы де Моргана позваляют переходить от утверждений с союзом «и» к утверждениям с союзом «или», и наоборот:

~ (A&B) → (~Av~ B), если неверно, что есть и первое, и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе:

(~ Av ~B) → ~ (A&B), если неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Используя эти законы, от высказывания «Неверно, что изучение логики и трудно, и бесполезно» можно перейти к высказыванию «Изучение логики не является трудным, или же оно не бесполезно». Объединение этих двух законов дает закон (↔ - эквивалентность, «если и только если»):

~ (A&B) ↔ (~Av ~ B).

Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний.

Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:

~ (A v B) ↔ (~A & ~B),

неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии».

На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, используя отрицание, через «или», и наоборот:

- «А и В» означает «неверно, что не-А или не-В»,

- «А или В» означает «неверно, что не-А и не-В».

К примеру: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня

холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

13. Законы транзитивности, ассоциативности и коммутативности.

Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье. Например: «Если дело обстоит так, что с развитием медицыны появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность жизни человека». Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого. Символически данный закон представляется формулой: