В рамках этой гипотезы задача определения "парциальной концентрации" примесей сводится к решению обратной задачи - подбору таких значений Ci , которые при известных температурных зависимостях коэффициентов si(Т) наилучшим образом описывают наблюдаемую термограмму s(Т).

Наиболее простой путь решения этой задачи - рассматривать соотношение (16) при нескольких температурах как систему линейных уравнений для неизвестных Ci , если число точек по температуре выбрать равным числу неизвестных концентраций, то система легко решается. Недостаток этого метода очевиден - результат будет зависеть от произвольного выбора температурных точек и, в этом смысле, будет также произволен. Реально следует использовать какие-либо интегральные методы, учитывающие поведение термограммы s(Т) на всем представляющем интерес интервале изменения температуры. Некоторые из таких методов обсуждаются ниже.

В основе обсуждаемых ниже интегральных методов лежат представления об эталонных термограммах - зависимостях s(Т), обусловленных только одним видом примесей, единым образом нормированных. Будем обозначать эти термограммы через si . Способ нормировки может быть выбран из соображений, навязываемых внутренней логикой используемого метода и не связан с требованием нормировки на каким-либо образом заданную единичную концентрацию примеси. Последнему требованию можно удовлетворить введением дополнительных коэффициентов перехода между реальными и "внутренними" нормировочными коэффициентами. Вопрос о нормировке эталонных термограмм тесно связан также с проблемой выбора аргумента функций. До сих пор все функции представлялись зависящими от температуры Т. Реально, однако, зависимости s и Ds снимаются как функции времени с начала прогрева сенсора. Для практических целей удобно именно эту величину принимать за аргумент функций, причем после очевидного линейного преобразования x=t/tmax можно получить аргумент х, меняющийся в интервале [0 1]. Это будет предполагаться ниже. Функции si(х) будут предполагаться нормированными в классе L2 на единицу:

ò si(х) sj(х) dx= (si(х) sj(х)) (17)

Под скалярным произведением функций будем понимать выражение

S si(xk) sj(xk)= (si(х) sj(х)) (18)

Где сумма берется по всем возможным значениям x в интервале [ 0 1].

Тогда имеея термограмму смеси sсмеси(х) можно записать

sсмеси(х)= S Aisi(х) i=1 n (19)

Здесь Ai коэффициенты (концентрации эталонных примесей ), подлежащие определению. Домножая (19) на sj(х) и интегрируя имеем

ò sсмеси(х) sj(х) dx= ò sj(х) S Aisi(х) dx

(sсмеси(х)sj(х))= òS Aisi(х)sj(х) dx

(sсмесиsj)= S Ai (òsi(х)sj(х) dx)

(sсмесиsj)= S Ai (sisj) j=1 n (20)

Выражение (20) представляет собой систему линейных уравнений относительно искомых чисел Ai . Коэффициенты (sisj) известны.

Особенности построения алгоритма определения концентраций.

Как было показано выше для определения концентраций примесей в газовой смеси необходимо решить систему из n уравнений (20). Однако, среди искомых чисел Ai могут казаться и отрицательные числа, являющиеся решениями исходной системы. Отрицательные решения системы (20) физического смысла, очевидно, не имеют. Для того, что бы избежать появления отрицательных “концентраций” программа интерпретации результатов действует следующим образом:

Пусть Bj =(sсмесиsj) Мij=(sisj)

Тогда (20) можно переписать в виде

Bj= S Ai Мij (20а)

Если после решения системы (20а) некоторые числа Ai оказались отрицательными из системы изымаются строки и столбцы с соответствующими номерами и процесс определения концентраций Ai повторяется с системой из меньшего количества уравнений.

Существует несколько методов для определения концентраций примесей по записям термограмм.

Если F(x)-исходная термограмма, Fi(x)-эталонные термограммы, под скалярным произведением функций понимается нормированная сумма произведений этих функций во всех точках диапазона

(F G)= A S F ( xj ) G(xj )

Если Mij=(Fi Fj) Bi=(F Fi) Xi – концентрация i-го вещества , тогда искомые крнцентрации определяются из системы

MxX=B

1).Решение систем уравней

Имея систему уравнений MxX=Bнаходим решение Х0, если среди полученных решений имеются отрицательные {Хj} , то из матрицы М изымаются строки и столбцы с соответствующими номерами и полученная система меньшей размерности решается вновь.

Цикл повторяется до тех пор, пока не будет получено решение, состоящее только из положительных элементов. Такой метод определения концентраций применен в приборе в настоящий момент.

Достоинствами данного метода являются:

1. Высокая скорость работы

2. Простота алгоритма.

3. Быстрое сужение круга веществ, присутствие предполагается в смеси

4. Независимость устойчивости работы алгоритма от свойств матрицы M

Недостатками данного метода являются:

1. Возможность получения «пустого» решения- если на каком- либо шаге все решения окажутся отрицательными.

2. Невозможность возврата в систему для определения концентраций строк и столбцов, изъятых на предыдущих шагах.

2).Минимизация невязки.

Задач ставится таким образом, что требуется минимизировать функцию

D=S(F-S XiFi(xj))2

при дополнительных ограничениях Xi>0.

Для решения этой задачи может применяться симплекс-метод, или другие методы математического программирования.

Достоинствами данного метода являются:

1. Надежность получения решения. Всегда будет получено какое-либо решение – в крайнем случае решением будет признано начальное приближение.

2. Возможность возврата в систему для определения концентраций элементов, изъятых на предыдущих шагах.

Недостатками данного метода являются:

1. Зависимость метода от свойств матрицы M. Корректная работа возможна только в случае положительно определенной матрицы.

2. Невысокая скорость работы как из-за сложности алгоритма, так и благодаря большому количеству итераций

3. Возможная зависимость окончательного результата от выбора начального приближения решения. ( в случае, если у невязки имеется более одного минимума в рассматриваемой области)

4. Сложность алгоритма.

5. Определение «суммарной концентрации неизвестных веществ» - С=1/N для функции отклика G(xj)=(F-S XiFi(xj))

При разработке прибора проверялась работа алгоритма определения концентраций. В приложении 6 приведены результаты определения концентраций алгоритмами обоих типов. Окончательный выбор был сделан в пользу первого метода определения концентраций как из-за меньшего количества ограничений, налагаемых на исходные данные, так и из-за большей логичности.

Соответствие между термограммами и парциальными проводимостями.