Для моделирования фильтрации в основном используются гидравлическая и электрическая аналогии, реализуемые на сплошных и сеточных моделях.

Сплошные гидравлические модели, представленные фильтрационными лотками различных видов, в гидрогеологических расчетах применяются редко.

В развитии методов моделирования фильтрации подземных вод основная роль принадлежит сплошным и сеточным электрическим моделям, основанным на использовании метода электрогидродинамических аналогий (ЭГДА), сущность которого наглядно представляется сопоставлением основных законов движения фильтрационного потока и электрического тока:

закон Дарси и закон Ома

и (9)

где Q — расход; F — площадь поперечного сечения потока; Н — напор; х-—расстояние;I— сила тока; с — удельная проводимость, ; р — удельное сопротивление; площадь поперечного сечения проводника; U — электрический потенциал, l — длина проводника.

Приведенная формула закона Ома получена путем несложных преобразований

; (10)

где R — сопротивление.

Идентичность записи законов Дарси и Ома очевидна. В них соответствуют физические характеристики — коэффициент фильтрации Кф и удельная проводимость с (физическое подобие), силовые характеристики — напор Н и потенциал U(динамическое подобие) и, наконец, расход потока Q и сила тока (кинематическое подобие).

На сплошных моделях ЭГДА фильтрационный поток моделируется сплошным электрическим полем, геометрически подобным. Для этого применяются электропроводная бумага и электролиты. Электропроводная бумага изготавливается с удельным сопротивлением от 100 до 100 000 Ом/см, в зависимости от количества содержащихся в ней сажи и графита.

Участки поля с различной проницаемостью пород моделируются кусками бумаги различной удельной проводимости. Между собой участки модели скрепляются специальным электропроводным клеем.

Электролиты также широко используются в качестве материала модели и обычно представляют собой растворы солей, причем наибольшее распространение получили водные растворы поваренной соли и медного купороса. Кроме того, можно использовать электропроводные краски, клеи, электропроводный картон, гипс и т. д.

Определение приведенного потенциала на моделях ЭГДА производится с помощью мостовой измерительной схемы.

При составлении сеточных моделей поток разбивается на отдельные блоки, центры которых связываются электрическими резисторами. В таких моделях геометрическое подобие модели и объекта не сохраняется.

4. Приток воды к водозаборным сооружениям

Среди водозаборных сооружений мы будем рассматривать такие горные выработки, как дрены (канавы) и скважины. В гидрогеологии горные выработки разделяют на совершенные и несовершенные.

Гидродинамически совершенной называется горная выработка, вскрывающая водоносный горизонт от кровли до подошвы.

Рис. 1. Схемы совершенной (а) и несовершенной (б, в) выработок

Приток воды к ней происходит по всей поверхности соприкосновения стенок выработки с водоносным горизонтом (рис. 1, а). Если же выработка не доходит до водоупора, она называется несовершенной по степени вскрытия водоносного горизонта (рис. 1, б). Зачастую выработки закрепляются от обрушения, цементируются скважины оборудуются обсадными трубами, фильтрами и т. п. Естественно, что приток воды в такие выработки затруднен и их называют несовершенными по характеру вскрытия водоносного горизонта.Основные уравнения притока воды к водозаборам (скважинам и дренам) будем выводить при условии совершенства выработок.

Представим себе плоский поток грунтовых вод. Гидравлический градиент I в данном случае равен

(11)

где х — расстояние между сечениями h1 и h2

Если мы будем сближать сечения h1 и h2 так, чтобы расстояние между ними стало равно нулю, то получим уклон (гидравлический градиент) в точке а, который равен тангенсу угла наклона зеркала грунтовых вод или первой производной

(12)

Подставив полученное выражение гидравлического уклона в выражение закона Дарси (21), получим для безнапорных вод

(13)

для напорных вод

(14)

где H —напор, отсчитываемый от подошвы водоносного пласта до его пьезометрического уровня.

4.1 Приток безнапорных вод в совершенную горизонтальную дрену (канаву)

После устройства дрены скорость движения воды в ней увеличивается и уровень воды понижается на величину S, которую в гидрогеологии принято называть величиной понижения. Иными словами, величина понижения представляет собой разницу между статическим и динамическим уровнями. Мощность водоносного горизонта до понижения обозначим через H, глубину воды в дрене — через ho. В результате понижения уровня в дрене в водоносном горизонте образуется депрессионная воронка, показанная на рис. 50 сплошной жирной линией. Расстояние R, на которое сказывается влияние понижения, называют радиусом влияния.

Для расчета притока воды в дрену Q выбираем на расстоянии х от стенки дрены сечение с напором к, которое находится в интервале от нуля до R.

В общем виде приток воды в дрену будет равен выражению (13). Подставим сюда величину площади фильтрации

(15)

где В — длина дрены. Получим

(16)

При расчете притока воды в дрену удобно пользоваться понятием единичного притока д, т. е. притока воды на единицу длины дрены

(17)

Отсюда элементарная формула для расчета притока воды

(18)

Разделим переменные в выражении (18), т. е. умножим обе его части на dх и проинтегрируем

(19)

В результате получим

(20)

(21)

(22)

Формула (22) выражает величину единичного притока с одной стороны дрены. Для получения полного притока воды в дрену необходимо умножить единичный приток на два, а затем — на длину дрены. Приток воды в торцы дрены обычно не учитывают, так как он при большой длине дрены составляет ничтожную долю.

По формуле (22) можно рассчитать расход плоского грунтового потока. Подставив вместо радиуса влияния расстояние между сечениями, равное I, получим