1. Теоретическая часть

1 Случайные процессы и их математическое описание

Пусть t принадлежит T (допустимому множеству). Если t пробегает непрерывные значения на множестве T, то x(t) принято называть случайным процессом.

При каждом фиксированном t=t* возникает случайная величина x(t*) которую принято называть значением случайного процесса.

Случайный процесс характеризуется совокупностью плотностей распределения вероятностей с возрастающей размерностью k=1,2, .,n. Действительно величина

равна вероятности того, что

Поэтому чем больше n, тем более полной информацией о поведении x(t) в интересующем нас интервале времени мы располагаем. Практически ограничиваются рассмотрением только одномерных и двумерных плотностей распределения либо иных характеристик случайных процессов (главным образом моментов первого и второго порядков), которые определяются данными плотностями.

Примером случайного процесса, полностью характеризуемого одномерной и двумерной плотностями, является марковский случайный процесс. Зависимость между значениям x(ti) является простейшей, так как распространяется лишь на соседние значения x(ti-1) и x(ti). Наличие подобной зависимости приводит к тому, что вероятность нахождения x(ti) в интервале [xi, xi+dxi] в момент времени t=ti является условной и зависит от значения случайного процесса в предыдущий момент времени ti-1.Зависимость x(ti) от более ранних моментов времени t1, t2, ti-2, (т. е. от более глубокой предыстории процесса) отсутствует. Это означает, что для марковского процесса условная (или переходная) плотность:

Отсюда:

Таким образом, начальная безусловная одномерная плотность и совокупность условных (переходных) плотностей полностью описывают марковский случайный процесс.

Абсолютно случайным процессом принято называть такой процесс, любые два значения которого суть независимые случайные величины. В этом случае плотность вероятности имеет следующий вид:

Случайный процесс называется стационарным, если все его плотности вероятностей не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е. инвариантны к временному сдвигу t:

Из этого следует, что одномерная плотность распределения стационарного процесса вообще не зависит от времени.

Гауссовский процесс -это такой случайный процесс сколь угодно мерная плотность вероятности которого гауссовская.

n-размерность вектора X,

Kx-матрица ковариации

mx-математическое ожилание.

Гауссовский случайный процесс является стационарным и марковским.

К наиболее важным моментным характеристикам стационарного случайного процесса относятся математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция.

Математическое ожидание

характеризует среднее течение процесса x(t) по времени.

Дисперсия случайного процесса

Корреляционная функция

где , ;эта функция представляет собой среднее произведение центрированных значений случайного процесса в моменты времени t и t+t. Корреляционная функция характеризует степень линейной связи (корреляции) между значениями процесса, отстоящими друг от друга на время t. При t=0, корреляционная функция равна дисперсии.

Понятие корреляционной функции может быть использовано и для характеристики степени связи двух случайных процессов x(t) и y(t). В этом случае она называется взаимной корреляционной функцией:

В теории автоматического управления широко используются описания случайных процессов в частотной области или, по иному, спектральное представление случайных процессов.

Рассмотрим преобразование Фурье от корреляционной функции:

Полученная функция есть четная вещественная функция называемая спектральной плотностью стационарного случайного процесса.

Справедливо обратное:

Для стационарного случайного процесса n(t) (с нулевым математическим ожиданием) типа белого шума, корреляционная функция имеет вид:

где d(t)-дельта-функция Дирака, а N -интенсивность шума.

Спектральная плотность этого процесса будет:

что может быть принято в качестве определения белого шума. Выражение означает, что мощность парциальных составляющих случайного процесса n(t) для любых частот одна и та же. Поэтому белый шум является наиболее интенсивным видом помехи.

2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему

Рассмотрим линейную динамическую систему с постоянными коэффициентами. На ее вход поступает стационарный случайный процесс x(t), на выходе имеет место процесс y(t). Теоретически выходной случайный процесс y(t) является стационарным только после затухания свободных колебаний в системе, то есть при t®¥. Однако, в инженерных приложениях мы будем считать, что переходный процесс в системе заканчивается за время, определяемое в соответствие с правилами теории управления.

Иными словами мы будем считать процесс y(t) стационарным по истечении времени затухания.

Спектральная плотность выходного процесса имеет вид:

Дисперсия выходного процесса:

Корреляционная функция выходного процесса:

3 Формирующий фильтр

Как было показано выше белый шум имеет постоянную спектральную плотность во всем диапазоне частот.

Спектральная плотность всех физически существующих стационарных случайных процессов представляют собой дробно-рациональную функцию частоты:

Причем степень полинома в знаменателе выше степени полинома в числителе. Такие функции допускают факторизацию: