l1

Тогда, например, зависимость степени поляризации теплового изображения, с азимутом tn=0, от величины видеосигналов двух поляризационных тепловизионных изображений элементов поверхности объекта, с азимутами поляризации 00, 900, можно представить в виде:

P’ (N, L) = [ U0 (N, L) - U90(N, L)] / [U0 (N, L)+U90(N, L)], ( 7 )

где

P’ (N, L) - степень поляризации изображений с азимутом tn=0.

Если пронумеровать вектор-параметр Стокса, то формула (4) примет вид:

é 1 ù

U1(N, L) = U(N, L) ô P(N, L) ×cos2×t(N, L) ê , ( 8 )

ô P(N, L) ×sin2×t(N, L) ê

ë 0 û

где P(N, L) - степень поляризации излучения элемента dS(N, L) объекта;

t(N, L) - азимут поляризации излучения элемента dS(N, L).

На основе выражений (7) и (8) получим:

P’(N, L) = P(N, L) × cos2 ×t(N, L). ( 9 )

Подставив формулы (5) и (6) в выражение (7), получим следующее выражение для степени поляризации P’(N, L):

e÷÷ (y)×[(n*j)2 - (n*k)2] + eûë(y)×[(eûë*j)2 - (eûë*k)2]

P’(N, L) = ------------------------------------------------------------------ , ( 10 )

e÷÷ (y)×[(n*j)2 + (n*k)2] + eûë(y)×[(eûë*j)2 + (eûë*k)2]

где j , k - единичные орты координатных осей OY и OZ;

eûë, e÷÷ - единичные векторы, соответственно, параллельной и перпендикулярной компонент коэффициента излучения элемента dS.

Преобразуем выражение (10) в виде:

[e÷÷ (y)/eûë ]×[(n*j)2 - (n*k)2] + [(eûë*j)2 - (eûë*k)2]

P’(N, L) = ------------------------------------------------------------------ , ( 11 )

[e÷÷ (y)/eûë ]×[(n*j)2 + (n*k)2] + [(eûë*j)2 + (eûë*k)2]

Принимая во внимание выражение:

P(y) =[ e÷÷ (y) - eûë (y)] / [ e÷÷ (y) + eûë (y)] ,

получим связь величин e÷÷ (y) и eûë (y) со степенью поляризации P(y):

e÷÷ (y)/eûë (y)= [1+ P(y)] / [1- P(y)]. ( 12 )

Анализируя данные исследований степени поляризации различных материалов, индикатрису P(y) можно представить в виде зависимости:

P(y) = a × (1- cosy),

где а - параметр, зависящий от типа и шероховатости материала.

Принимая во внимание, что косинус угла y между нормалью к элементу dS и единичным вектором наблюдения rн определяется как скалярное произведение этих векторов, получим:

P(y) = [ 1-(n*rн) ] × a . ( 13 )

Подставив это выражение в формулу (12) получим:

e÷÷ (y) 1+ [ 1 - (n*rн)] × a

--------- = ------------------------- . ( 14 )

eûë (y) 1 - [ 1 - (n*rн)] × a

Тогда, с учётом соотношения (12), из формулы (11) получим основное уравнение, выражающее зависимость между степенью поляризации P’(N, L) и формой объекта через функцию распределения нормали n для каждого элемента поверхности объекта:

1+ [ 1 - (n*rн)] × a

------------------------ [(n*j)2 - (n*k)2] + [(eûë*j)2 - (eûë*k)2]

1- [ 1 - (n*rн)] × a

P’(N, L) = ---------------------------------------------------------------------- . ( 15 )

1+ [ 1 - (n*rн)] × a

------------------------- [(n*j)2 - (n*k)2] + [(eûë*j)2 + (eûë*k)2]

1- [1 - (n*rн)] × a

С помощью этой формулы можно определить степень поляризации всех элементов наблюдаемой тепловизором части поверхности объекта любой формы. Для этого нужно знать направление нормали n для каждого элемента поверхности в зависимости от его положения в декартовой системе координат. Оно определяется как оператор Гамильтона ( набла-оператор ) от функции f(x,y,z) = 0, описывающий форму объекта:

[( df/dx ) × i + ( df/dy ) × j + ( df/dz ) × k ]

n = ---------------------------------------------------- . ( 16 )

[( df/dx )2+ ( df/dy )2 + ( df/dz )2 ] 1/2

Единичный вектор наблюдения rн определяется как разница векторов l и R по формуле:

rн = ( l - R ) / | ( l - R )|,( 17 )

где l - вектор, определяющий положение декартовой системы координат по отношению к точке наблюдения H;

R - радиус-вектор элемента dS поверхности объекта, определяющий его положение в декартовой системе координат x, y, z с единичными ортами i, j, k.

Радиус-вектор задаётся R формулой :

R = x × i + y × j + z × k . ( 18 )

Если направление наблюдения центра декартовой системы координат выбрано вдоль оси х, то есть направление вектора l и оси х совпадают, то вектор l выразится в виде:

l = l × i , ( 19 )

где l - расстояние от центра декартовой системы координат О до точки наблюдения Н;

i - единичный орт оси ОХ .

В этом случае выражение (17) примет вид:

rн = [( l-x)i + y × j +z × k ] / [( l-x)2+ y2 + z2]1/2 . ( 20 )

Вектор перпендикулярной составляющей коэффициента излучения eûë перпендикулярен плоскости, определяемой векторами n и rн ( плоскости наблюдения ), и находится как векторное произведение этих векторов по формуле:

eûë = [ n* rн ] / | [ n* rн ] | . ( 21 )

Таким образом, определив степень поляризации P’ от всех элементов видимой части объекта, можно построить оптико-математическую модель поляризационных тепловизионных изображений объектов любой формы.

2.1. Теория моделирования поляризационных тепловизионных

изображений на основе степени и азимута поляризации

теплового изображения.

Для описания этого метода воспользуемся рис. 3.

Допустим, что азимут поляризации излучения элемента dS поверхности объекта составляет угол t с поверхностью референции.

Для определения степени поляризации P’ необходимо найти величины видеосигналов U0 и U90 поляризационных тепловизионных изображений элементов dS поверхности объекта при азимутах поляризатора t=00 и t=900. Выразим U0 и U90 через параллельную и перпендикулярную составляющие коэффициента излучения элемента dS и азимут t поляризации этого элемента, который представляет собой угол между плоскостью поляризации ( ось ОА ) и плоскостью референции ( ось OY ). В общем случае, когда азимут t поляризации излучения элемента dS не совпадает с азимутом поляризатора, обе компоненты коэффициента излучения дают вклады в величины видеосигналов U0 и U90 следующим образом: