3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух или более требований (вероят­ность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

где. - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отра­жает многие процессы массового обслуживания. Почему такое предположение в ряде важных случаев оказывается верным, дает ответ общая теорема А.Я.Хинчина, которая представляет исключительную теоретиче­скую и практическую ценность. Эта теорема имеет место в случае, когда входящий поток можно представить в виде суммы большого числа незави­симых потоков, ни один из которых не является сравнимым по интенсив­ности со всем суммарным потоком. Приведем “не строгую” формулировку этой теоремы (полная формулировка и доказательство приведены в).

Теорема (А.Я.Хинчин) Если входящий поток представляет собой сумму большого числа независимых между собой стационарных и ординар­ных потоков, каждый из которых вносит малый вклад в общую сумму, то при одном дополнительном условии аналитического характера (которое обычно выполняется на практике) поток близок к простейшему.

Применение этой теоремы на практике можно продемонстрировать, на следующем примере: поток судов дальнего плавания в данный грузовой порт, связанный со многими портами мира, можно считать близким к простейшему. Это дает нам право считать поток прибытия судов в порт распределенным согласно процесса Пуассона.

Кроме тогî, наличие пуассоновского потока требований можно оп­ределить статистической обработкой данных о поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т.е.

Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, кото­рая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

Время обслуживания одного требования ()- случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабиль­ности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных пара­метров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной гру­зоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или вы­грузку) .

Случайная величина полностью характеризуется законом распре­деления, который определяется на основе статистических испытаний.

На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания.

Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возраста­нием времени t. Например, когда основная масса требований обслужива­ется быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Нали­чие показательного закона распределения времени обслуживания уста­навливается на основе статистических наблюдений.

При показательном законе распределения времени обслуживания ве­роятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:

где v - интенсивность обслуживания одного требования одним об­служивающим устройством, которая определяется из соотношения:

, (1)

где - среднее время обслуживания одного требования одним об­служивающим устройством.

Следует заметить, что если закон распределения времени обслужи­вания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих уст­ройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:

где n - количество обслуживающих устройств.

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.

(2)

где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления тре­бований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Из (1) и (2) получаем, что

Учитывая, что - интенсивность поступления требований в систему

в единицу времени, произведение показывает количество требова­ний, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслужива­ния одного требования одним устройством.

Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО) :

.

В противном случае число поступающих требований будет больше суммар­ной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ос­лаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребо­вать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки :