Для таких полей ротор сводится к оператору qx + ikbx и уравнения Максвелла (1) принимают вид

(qx + ikbx)H = -ikD(5)

(qx + ikbx)E = ikB

Умножая уравнения (5) на вектор q, получаем соотношения

qD = aH , qB = -aE , a = bq (6)

При нормальном падении (b = 0) поле (4) представляет собой плоскую волну. Нормальные компоненты векторов электрической и магнитной индукции такой волны равны нулю: qD = qB = 0. Векторы электромагнитного поля в линейной среде связаны уравнениями

D = E , B = mH , (7)

где и m - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей. В общем случае поглощающей анизотропной среды, обладающей собственной или вынужденной гиротропией [9], и m - комплексные несимметричные тензоры.

Уравнения связи (7) и соотношения (6) образуют систему восьми линейных скалярных уравнений для двенадцати декартовых компонент векторных функций E(z), D(z), H(z), B(z) вида (4). Поэтому лишь четыре из этих компонент линейно независимы. В качестве независимых функций удобно выбрать тангенциальные компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей, так как они непрерывны на границе раздела слоев. Выражая из уравнений (6) и (7) нормальные компоненты через тангенциальные составляющие и используя тождество [3] H = Ht +qqH , получаем

= V, где(8)

V = - (9)

матрица восстановления [10] полных векторов H и E по их тангенциальным составляющим Ht и Et , а = qq, = qq.

С учетом соотношения (8) систему уравнений (5) можно представить в матричном виде [11]

= ikM , (10)

где

М = (11)

- блочная матрица, составленная из операторов (12)

A = qxqa - bqI

B = II - bb (12)

C = -aa - qxqx

D = -aqqx - Iqb

здесь и - тензоры, взаимные к транспонированным тензорам

и соответственно.

В прозрачных средах и - эрмитовы: , при вещественном параметре b имеют место равенства

B+ = B, C+ = C, D+ = A (13)

В координатной записи уравнение (10) представляет собой систему четырех линейных дифференциальных уравнений для тангенциальных составляющих векторов H и E. Подобная система рассматривалась в [12].

Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами выражается через экспоненциал от матрицы коэффициентов этой системы.

В нашем случае [7] имеет место

= P , P = , F= (14)

Р – характеристическая матрица плоскослоистой анизотропной системы, которая связывает значения полей на первой и последней границах системы. Для системы из N-1 слоев матрицу Р можно представить в виде

Р = РN-1PN-2…PP…P1, где РР = , р = 1, 2, …,N-1 – характеристическая матрица р-го слоя.

Если в пределах некоторого слоя значения функции М() в двух произвольных точках 1 и 2 коммутируют между собой, то есть

М(1) М(2) = М(2)М(1) , 1,2 Î [zP-1, zP], то матрица Р этого слоя принимает вид [7] P = exp (ik ). Для однородной среды соответствующий интеграл сводится [4] к экспоненциальному оператору