В этом случае квадрат интервала запишется как т.е. с точностью до знака совпадает с (n). Однако в силу мнимости это выражение, так же как и (o), может иметь различные знаки и, таким образом, качественно отличается от (n).

В силу инвариантности интервала качественное различие связи между событиями не зависит от выбора системы отсчета, и действительный, или времениподобный, интервал () остается действительным во всех системах отсчета, мнимый же, или пространственноподобный, интервал () также остается мнимым во всех системах отсчета.

Все эти особенности псевдоевклидовой геометрии могут наглядно проиллюстрированы на плоскости Минковского .

Отрезками 0a и 0b на этой плоскости изображены соответственно единичные масштабы временной оси и пространственной оси . Кривая, выходящая вправо из точки a, является гиперболой, описываемой уравнением а кривая, выходящая вверх из точки b, является гиперболой, описываемой уравнением

Таким образом, точка начала координат и все точки, лежащие на гиперболе, выходящей из точки a, разделены единичным времениподобным интервалом. Точки же, лежащие на гиперболе, выходящей из точки b, отделены от начала координат пространственноподобным интервалом.

Пунктирная линия, выходящая параллельно оси из точки a, изображает точки с координатами , а линия, выходящая из точки b параллельно оси , изображает точки с координатами .

На этой же плоскости нанесены линии и , изображающие соответственно точки с координатами и , а также линии, проходящие через и

и соответственно изображающие точки с координатами . Эти линии изображают координатную сетку системы .

Из рисунка видно, что переход от системы S к системе соответствует переходу от прямоугольных координат к косоугольным на плоскости Минковского. Последнее следует также непосредственно из преобразований Лоренца, которые можно записать также в виде где или в виде (p) где и очевидно,

Но преобразования (p) тождественны преобразованиям перехода от декартовых координат к косоугольным. При этих преобразованиях времениподобные векторы, т.е. векторы, направленные из начала отсчета в точки, лежащие выше линии OO', в любой системе координат также останутся времениподобными, т.к. концы векторов лежат на гиперболах. Следовательно, и пространственноподобные векторы во всех системах координат останутся пространственноподобными.

На плоскости Минковского видно, что "пространственная" проекция единичного вектора на ось равна 1, а на ось равна , т.е. меньше 1. Следовательно, масштаб, покоящийся в системе, при измерении из системы S оказался укороченным. Но это утверждение обратимо, ибо "прост­ранст­вен­ная" проекция вектора Ob на ось равна Ob, т.е. в системе меньше, чем, являющийся единичным вектором.

Аналогично дело обстоит и с "временными" проекциями на оси и Отрезок , изображающий в системе процесс, длящийся единицу времени, в системе S будет проектироваться как , т.е. как процесс, длящийся меньшее время, чем Oa=1. Следовательно, ход часов, покоящихся в системе, при измерении из системы S окажется замедленным. Легко проверить, что это явление также обратимо, т.е. ход часов, покоящихся в системеS, оказывается замед­ленным в системе.

Сокращение движущихся масштабов.

Если длина неподвижного масштаба может быть измерена путем прик­ладывания к нему эталонных масштабов, без использования каких-либо часов, то длину движущегося масштаба невозможно измерить из неподвижной системы отсчета без использования часов или сигналов, отмечающих одно­вре­мен­ность прохождения концов измеряемого масштаба относительно точек эталона. Таким образом, под длиной движущегося масштаба надо понимать рас­стояние между его концами, измеренное при помощи неподвижного эталона в один и тот же момент времени для каждого конца. Одновременность из­мерения положений концов является существенно необходимым условием опыта. Легко видеть, что нарушение этого условия может привести к тому, что измеренная длина может оказаться любой, в том числе отрицательной или равной нулю.

Пусть длина движущегося масштаба, предварительно измеренная путем непосредственного приложения к эталону, помещавшемуся в любой системе координат. Тогда если моменты и прохождения концов масштабы мимо точек и неподвижного эталона одинаковы (т.е. t1=t2), то является, по определению, длиной движущегося масштаба. Согласно преобразованиям Лоренца имеем , откуда в силу t1 = t2 получаем .(r)