Интегральные кривые характеристического уравнения (т. е. все кривые, входящие в семейства (1.4.111) и (1.4.112)) называются характеристиками заданного дифференциального уравнения (1.4.1). В связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (1.4.1) называется методом характеристик.

Семейства (1.4.111) и (1.4.112) можно рассматривать, как общие интегралы уравнения (1.4.8) (это уравнение распадается на два уравнения (1.4.101) и (1.4.102)).

Следовательно, согласно доказанной теореме, функции

z=j(х, у) и z=y(х, у)

являются решениями уравнения в частных производных (1.4.6).

Функции j(х, у) и y(х, у) независимы друг от друга (можно доказать, что их якобиан отличен от нуля, если ас- b2<0). Поэтому, возвращаясь к уравнению (1.4.1), мы можем в нем сделать замену переменных:

Так как функции j и y удовлетворяют уравнению (1.4.6), то в результате этой замены переменных окажется и . Следовательно, уравнение (1.4.1) преобразуется к виду:

или, после деления на 2b и переноса в другую часть равенства:

где – функция, линейная относительно и’x , u’h , u (см. выше, формула (1.4.5)).

Полученное уравнение имеет более простой вид, чем исходное уравнение (1.4.1); если мы его сможем решить (т. е. найти и как функцию от x и h), то для того, чтобы найти решение исходного уравнения, достаточно вернуться к старым переменным (выразив x и h через х и у).

1.5. Выводы

В данной главе представлены основные уравнения состояния реального газа, уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде. Дано описание задачи. Сформулированы физическая и математическая постановки температурной и гидродинамической задач. Описан метод характеристик, который использован для получения решения задачи в главе 2.

Глава 2. Аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния

В данной главе приведены аналитические решения гидродинамической и температурной задач для произвольного уравнения состояния.

2.1. Решение гидродинамической задачи

Решение уравнения (I.4.1.1) приводит к необходимости решения дополнительной гидродинамической задачи для отыскания поля давления. Для описания движения газа воспользуемся квазистационарным уравнением неразрывности:

Скорость фильтрации газа сквозь пористую среду определяется законом Дарси:

Здесь - проницаемость пористой среды, - вязкость газа. Полагая, что и не меняются при движении газа к скважине, и что плотность газа зависит только от давления (баротропное приближение), перепишем уравнение неразрывности в следующем виде:

Функцию Лейбензона представим в виде:

где величины и А задаются граничными условиями. Подставляя функцию Лейбензона в уравнение (2.1.3), получим:

Учитывая, что для осесимметричного течения поле давлений является функцией координаты , уравнение (2.1.5) можно представить в виде:

Решение этого уравнения представим в виде:

где и - постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями. Пусть - давление на границе контура питания (при ), - давление в скважине (при ), тогда согласно (2.1.4) и (2.1.7)

Отсюда найдем выражение для и :