Идея о том, что в мире могут действовать законы, вызрела в недрах западной мысли. Отчасти она восходит к стоикам, несмотря на ту роль, которую они отводили року. Немаловажную роль, вероятно, сыграли и иудеохристианские представления о Боге как абсолютном Вседержителе, устанавливающем законы для всего сущего. Так или иначе, открытие неизменяющихся детерминистических законов как бы сближало человеческое знание с божественной, вневременной точкой зрения.

Намеченная программа оказалась необычайно успешной. Однако на протяжении всей истории западной мысли неоднократно возникал один и тот же вопрос: как следует понимать новое, играющее центральную роль, в мире, управляемом детерминистическими законами?

Впервые этот вопрос возник задолго до рождения современной науки. Ещё Платон связывал разум и истину с доступом к "бытию", неизменной реальностью, стоящей за "становлением". Становление, поток воспринимаемых нами явлений, относится к сфере "чистого мнения". Однако Платон сознавал парадоксальность такой позиции, поскольку она принижала жизнь и мысль, которые представали как неотделимые от процесса становления. В "Софисте" Платон приходит к заключению, что нам необходимы и бытие, и становление.

С той же трудностью столкнулись и атомисты. Чтобы допустить возникновение нового, Лукрецию пришлось ввести "клинамен", возмущающий детерминистическое падение атомов в пустоте. Обращение к клинамену часто подвергалось критике как введение чужеродного элемента в схему атомистического описания. Но и через два тысячелетия мы встречаем аналогичное утверждение в работе Эйнштейна, посвящённой самопроизвольному испусканию света возбуждённым атомом, где говорится, что "время и направление элементарных процессов определены случайным образом" [6, с.386]

И клинамен, и спонтанное испускание света относятся к событиям, соответствующим вероятностному описанию. События и вероятности требуются и для эволюционного описания, будь то дарвиновская теория эволюции или история человечества. Встаёт вопрос: можно ли пойти дальше, чем Лукреций и Эйнштейн, "добавившие" события к детерминистическим законам? Можно ли видоизменить само понятие физических законов так, чтобы включить в фундаментальное описание природы необратимость, события и стрелу времени?

Для ответа на этот вопрос обратимся сначала к той области физики, которая имеет дело с "наиболее необратимыми" из встречающихся в повседневной жизни системами – а именно, к термодинамике и статистической физике.

2.2 Роль необратимости в статистической механике. Потоки корреляций

Теория ансамблей Гиббса и Эйнштейна предназначалась главным образом для достижения лучшего понимания равновесной термодинамики в терминах равновесных ансамблей. Коль скоро равновесное распределение задано, мы можем вычислить все термодинамические свойства: давление, удельную теплоёмкость и т.д. Мы можем даже выйти за рамки микроскопической термодинамики, поскольку ничто не мешает нам вычислять флуктуации равновесных величин. По общему мнению, в обширной области равновесной "статистической" термодинамики не осталось каких-либо концептуальных трудностей, вычислительные же легко снимаются численным моделированием. Таким образом, применение теории ансамблей к равновесным распределениям оказалось весьма успешным.

Но термодинамические величины, "соответствующие" необратимому характеру времени – такие, как энтропия – обладают фундаментально важными свойствами и вне равновесия. Встаёт вопрос: как можно понять в терминах теории ансамблей приближение к равновесию?

При описании равновесного состояния основной величиной является распределение скоростей f(v,t). Микроскопическим аналогом энтропии Больцман объявил знаменитую H-функцию:

Больцман показал, что для разрежённых газов распределение скоростей эволюционирует до тех пор, пока не достигает равновесного распределения скоростей Максвелла-Больцмана, при этом H(t) монотонно убывает.

Компьютерное моделирование и численные эксперименты подтверждают утверждение Больцмана [1, с.167], то есть наличие необратимых процессов на микроскопическом уровне. Однако такая проверка не может нас полностью удовлетворить: всегда можно списать появляющуюся необратимость на счёт неточности вычислений (аналогично потере информации при сдвиге Бернулли, рассмотренном выше).

Теорема Больцмана подвергалась критике (в частности, со стороны Лошмидта) на том основании, что она противоречит обратимым во времени законам динамики. Лошмидт выдвинул возражение, основанное на том, что обращение всех скоростей означало бы, что для каждой "больцмановской" эволюции к равновесию существовала бы другая эволюция, уменьшающая энтропию.

Вероятно, Лошмидт был прав. На то есть серьёзные основания, лежащие в основе той самой гамильтоновой механики, на базе которой строилась классическая статистическая механика. Дело в том, что интегрируемые системы не могут приближаться к равновесию, поскольку для таких систем все переменные действия J1, ., Js являются инвариантами движения: если первоначально r есть функция только переменных действия, то эта функция остаётся постоянной во времени и не может эволюционировать в функцию только энергии, как должно быть для равновесного состояния.

Пытаясь увязать детерминизм поведения динамических систем с необратимостью систем статистических, Максвелл и Больцман ввели понятие эргодичности – то есть свойства системы с течением времени сколь угодно близко подходить к любой точке на энергетической поверхности. При этом в пределе, при больших временах, средние от динамических свойств по времени совпадают со средними по ансамблю. Эргодическая теория и различные её обобщения позволяют делать заключения о поведении динамических систем при больших временах (при этом безразлично, t ® +µ или t ® –µ ), но не дают никакой информации относительно поведения системы при конечных временах. Кроме того, интегрируемые системы, вообще говоря, неэргодичны.

Между тем, именно поведение систем на конечных временах является центральной математической проблемой необратимости. Нужна обобщённая спектральная теория, включающая в спектр такие диссипативные свойства, как времена жизни, времена релаксации и т.д. (Брюссельская школа как раз и предлагает такое комплексное спектральное представление для неустойчивых динамических систем – об этом сказано в следующих разделах данной работы).

После возражений Лошмидта для описания различия между "больцмановскими" и "антибольцмановскими" начальными состояниями была предпринята попытка воспользоваться корреляциями в скоростях частиц, возникающими в результате межчастичных столкновений. Последовательные столкновения порождают парные, тройные, ., n–арные корреляции между частицами. Обращение скорости привело бы к столкновениям, разрушающим корреляции.

В терминах функций распределения это можно выразить так: проинтегрируем по координатам функцию r(q1, ., qn, ., p1, ., pn,, t). Получим в результате функцию r0(p1, ., pn,, t), зависящую только от импульсов. В ней не содержится никакой информации о положении частиц в пространстве, поэтому её можно назвать вакуумом корреляций. Можно также определить функцию, содержащую информацию о положении одной i-й частицы, функцию r2(qi.,qj,, p1, ., pn,, t), описывающую две частицы и т.д. Функция r2 содержит уже информацию о парных столкновениях, r3 – о тройных, . В результате, мы можем разложить r на вакуум корреляций r0 и на состояния корреляций. Отличие в квантовой механике, как обычно, связано с числом независимых переменных. Матрице плотности соответствует матричное представление – например, в терминах импульсов – r(p1, .,pn,p1', .,pn'). Мы имеем диагональные элементы с p1=p1', p2=p2', . и недиагональные, у которых по крайней мере одно из этих соотношений нарушено. В квантовой механике вакууму корреляций r0 соответствует диагональным элементам матрицы r, а rn – недиагональным элементам, в которых n переменных p1, p2, ., pn не равны соответственно p1', p2', ., pn'. В результате взаимодействий различные состояния корреляций переходят друг в друга. (С точки зрения операторного формализма на матрицы pi действует супероператор Лиувилля – см. ниже). Когда частица, уже коррелированная с другой частицей, сталкивается с третьей, возникает тройная корреляция, и т.д.