В других случаях, пытаясь построить изображение аттрактора, мы получим не точку или замкнутую линию, а поверхность или объём. Поворотным же событием стало открытие аттракторов, не относящихся к столь простым геометрическим объектам – так называемым странных аттракторов. В отличие от линии или поверхности, странные аттракторы представляют собой фрактальные объекты, характеризующиеся дробной размерностью.

Странные аттракторы были обнаружены в поведении многих динамических систем, описываемых детерминистическими уравнениями движения. Например, они возникают для так называемого сферического маятника – обыкновенного грузика на нитке, который совершает колебания не в плоскости, а по поверхности полусферы. При внесении возмущений в виде колебаний точки подвеса в некоторый критический момент (зависящий от частоты возмущения) движение маятника становится хаотическим, а его траектория описывается странным аттрактором [1, с.83].

Корреляционный анализ временны'х последовательностей, характеризующих работу человеческого мозга, изменения климата на планете за миллионы лет и курса акций на бирже также приводит к обнаружению странных аттракторов. Впрочем, при наличии огромного количества внешних причин, влияющих на поведение всех этих систем, случайность их поведения вроде бы удивления не вызывает, поэтому пока обратим внимание на более загадочное явление. Откуда возникает хаотическое поведение в случае сферического маятника?

Как было показано выше, хаотическое поведение отображений типа сдвига Бернулли связано с неустойчивостью по начальным условиям, а необратимость их во времени – с потерей информации при сдвиге двоичной записи числа. Можно, однако, возразить, что приведённые примеры отображений несколько искусственны, так как в природе не встречается подобных дискретных процессов, да и "вычислительной мощности" природы не хватит на выполнение столь мудрёной операций, как модульная арифметика.

Оказывается, однако, что и на уровне решения обычных уравнений движений (вытекающих из законов Ньютона) для того же маятника возможно получение неустойчивых решений, связанных с так называемой неинтегрируемостью системы по Пуанкаре.

Основная проблема классической механики состоит в расчёте движения взаимодействующих тел на основе их уравнений движения (в частном случае, например, это может быть закон Ньютона F=ma). Обобщение ньютоновской механики на более сложные системы показало, что более удобной формой описания является не зависимость от времени пространственной траектории системы (в нашем примере – координаты), а движение точки, изображающей систему, в пространстве вдвое большей размерности, чем обычное "физическое". В общем случае состояние динамической системы описывается координатами q1, ., qs, которые являются независимыми переменными, и соответствующими им импульсами p1, ., ps. Преимуществом такого подхода является существенное упрощение уравнений движения.

Центральная величина всей гамильтоновой механики – функция Гамильтона, или гамильтониан – это, в простейшем случае, выраженная через координаты и импульсы энергия системы (Строгое изложение гамильтоновой механики – см. [3]). В гамильтоновском описании число независимых переменных удваивается, но уравнения движения существенно упрощаются. Рассмотрим систему N точек. Каждой из 3N координат N точек соответствует каноническое уравнение движения . Аналогично, каждому из 3N импульсов соответствует каноническое уравнение движения вида . В качестве частного случая рассмотрим свободные, то есть невзаимодействующие, частицы. Гамильтониан для них зависит только от импульсов (потенциальной энергии нет). Тогда из канонических уравнений следует, что импульсы постоянны во времени (), и что координаты, задающие положение частиц, – линейные функции времени. Этот тривиальный случай играет, тем не менее, весьма важную роль в общей проблеме интегрирования гамильтоновых уравнений движения.

Чтобы ввести понятие интегрируемой системы, обратимся к другому простому примеру – маятнику на пружинке, одномерному гармоническому осциллятору. Гамильтониан для него имеет вид , где k – жёсткость пружины, q – смещение груза от положения равновесия. Чтобы упростить уравнения движения, введём новые переменные a и J вместо старых q и p:

,

,

где – собственная частота колебаний осциллятора. Переменная a называется угловой переменной, J – переменной действия. В переменных угол–действие гамильтониан принимает простой вид: H=w J. Он теперь зависит только от нового импульса – переменной действия. В результате, как и в случае свободных частиц, , то есть переменная действия является инвариантом движения. Что же касается угловой переменной, то , она меняется линейно по времени.

Переход от переменных p, q к переменным J, a называется каноническим преобразованием. В данном случае оно позволило исключить из гамильтониана член, ответственный за потенциальную энергию. Аналогичное преобразование можно иногда проделать и в случае системы со многими степенями свободы, исключив из гамильтониана межчастичное взаимодействие, и выразить движение в циклических переменных. Их название относится к периодическому характеру движения, который делается явным в таких переменных.

Особую важную роль играют частоты системы w1, w2, ., wn. Именно через эти частоты мы приходим к понятию резонанса, имеющего решающее значение для теоремы Пуанкаре.

Движение интегрируемой системы с двумя степенями свободы можно представить на торе. Возможны две ситуации. Если для некоторых целых n1 и n2 выполняется условие n1w1+ n2w2=0, то есть частоты соизмеримы, мы имеем резонанс, и движение на торе периодическое – траектория замкнутая. Если же эта сумма ни при каких комбинациях n1 и n2 не равна нулю, то траектория навивается на поверхность тора и никогда не замыкается. В конце концов, как показано Пуанкаре, такая траектория проходит сколь угодно близко к произвольной точке на поверхности тора. Траектория при этом называется всюду плотной, а движение – квазипериодическим. Квазипериодическое движение очень сложно выглядит, но на самом деле является вполне детерминированным.

До Пуанкаре полагалось, что все динамические системы являются интегрируемыми. Однако в 1889 г. Пуанкаре показал, что в общем случае невозможно получит каноническое преобразование, сохраняющее вид гамильтоновых уравнений, которое приводило бы к циклическим переменным. Например, система двух тел (Земля – Солнце) интегрируема, а вот система трёх тел (Земля – Солнце – Юпитер) неинтегрируема. Короче говоря, подавляющее большинство динамических систем неинтегрируемы.