При нажатии на кнопку «Настройки» на экране появится окно, в котором можно настроить параметры сетки рабочего поля программы и цвета вводимого графа.

Окно настроек выглядит следующим образом:

Нижняя панель кнопок предназначена для установки параметров ввода и запуска алгоритма определения кратчайшего пути в графе. Данная панель состоит из четырех кнопок:

При включенной кнопке «Показывать сетку» отображается сетка для удобства ввода вершин.

Для автоматического ввода длины ребра графа необходимо нажать кнопку .

При включенной кнопке «Выравнивать по сетке» новые вершины будут автоматически выравниваться по координатной сетке.

Если выбрать две различные вершины (щелчком левой кнопки мыши) и нажать на кнопку , то программа найдет кратчайший путь между вершинами.

Алгоритм определения кратчайшего пути между вершинами графа описан следующим модулем программы:

unit MinLength;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Dialogs,

StdCtrls,IO,Data,AbstractAlgorithUnit;

type

TMinLength = class(TAbstractAlgorith)

private

StartPoint:integer;

EndPoint:integer;

First:Boolean;

Lymbda:array of integer;

function Proverka:Boolean;

public

procedure Make;

end;

var

MyMinLength: TMinLength;

implementation

uses MainUnit, Setting;

procedure TMinLength.Make;

var i ,j : integer;

PathPlace,TempPoint:Integer;

flag:boolean;

begin

with MyData do begin

StartPoint:=MyIO.FirstPoint;

EndPoint:=MyIO.LastPoint;

SetLength(Lymbda,Dimension+1);

SetLength(Path,Dimension+1);

for i:=1 to Dimension do

Lymbda[i]:=100000;

Lymbda[StartPoint]:=0;

repeat

for i:=1 to Dimension do

for j:=1 to Dimension do

if Matrix[i,j]=1 then

if ( ( Lymbda[j]-Lymbda[i] ) > MatrixLength[j,i] )

then Lymbda[j]:=Lymbda[i] + MatrixLength[j,i];

until Proverka ;

Path[1]:= EndPoint ;

j:=1;

PathPlace:=2;

repeat

TempPoint:=1;

Flag:=False;

repeat

if ( Matrix[ Path[ PathPlace-1 ],TempPoint] =1 )and (

Lymbda[ Path[ PathPlace-1] ] =

( Lymbda[TempPoint] + MatrixLength[ Path[PathPlace-1 ], TempPoint] ) )

then Flag:=True

else Inc( TempPoint );

until Flag;

Path[ PathPlace ]:=TempPoint;

inc( PathPlace );

MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-2 ],Path[ PathPlace -1],true);

// ShowMessage('f');

until(Path[ PathPlace - 1 ] = StartPoint);

// MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-1 ],Path[ PathPlace ],true);

end;

end;

function TMinLength.Proverka:Boolean;

var i,j:integer;

Flag:boolean;

begin

i:=1;

Flag:=False;

With MyData do begin

repeat

j:=1;

repeat

if Matrix[i,j]=1 then

if ( Lymbda[j]-Lymbda[i] )>MatrixLength[j,i]then Flag:=True;

inc(j);

until(j>Dimension)or(Flag);

inc(i);

until(i>Dimension)or(Flag);

Result:=not Flag;

end;

end;

end.

Рабочее поле программы предназначено для визуального ввода графов.

Рабочее поле с введенным графом выглядит следующим образом:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория графов находит широкое применение в различных областях науки и техники:

Графы и информация

Двоичные деревья играют весьма важную роль в теории информации. Предположим, что определенное число сообщений требуется закодировать в виде конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и единиц. Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается код, в котором средняя длина слов минимальна по сравнению с прочими распределениями вероятности. Задачу о построении такого оптимального кода позволяет решить алгоритм Хаффмана.

Двоичные кодовые деревья допускают интерпретацию в рамках теории поиска. Каждой вершине при этом сопоставляется вопрос, ответить на который можно либо "да", либо "нет". Утвердительному и отрицательному ответу соответствуют два ребра, выходящие из вершины. "Опрос" завершается, когда удается установить то, что требовалось.

Таким образом, если кому-то понадобится взять интервью у различных людей, и ответ на очередной вопрос будет зависеть от заранее неизвестного ответа на предыдущий вопрос, то план такого интервью можно представить в виде двоичного дерева.

Графы и химия

Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:

CnH2n+2

Молекула каждого предельного углеводорода представляет собой дерево. Если удалить все атомы водорода, то оставшиеся атомы углеводорода также будут образовывать дерево, каждая вершина которого имеет степень не выше 4. Следовательно, число возможных структур предельных углеводородов, т. е. число гомологов данного вещества, равно числу деревьев с вершинами степени не больше четырех.

Таким образом, подсчет числа гомологов предельных углеводородов также приводит к задаче о перечислении деревьев определенного типа. Эту задачу и ее обобщения рассмотрел Д. Пойа.

Графы и биология

Деревья играют большую роль в биологической теории ветвящихся процессов. Для простоты мы рассмотрим только одну разновидность ветвящихся процессов – размножение бактерий. Предположим, что через определенный промежуток времени каждая бактерия либо делится на две новые, либо погибает. Тогда для потомства одной бактерии мы получим двоичное дерево.

Нас будет интересовать лишь один вопрос: в скольких случаях n-е поколение одной бактерии насчитывает ровно k потомков? Рекуррентное соотношение, обозначающее число необходимых случаев, известно в биологии под названием процесса Гальтона-Ватсона. Его можно рассматривать как частный случай многих общих формул.

Графы и физика

Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.

Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.

В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.

Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белов Теория Графов, Москва, «Наука»,1968.