Будем также предполагать, что веса дуг запоминаются в массиве A[u, v], u, v Î V (A[u, v] содержит вес a (u, v)).

Кратчайшие пути от фиксированной вершины

Большинство известных алгоритмов нахождения расстояния между двумя фиксированными вершинамиs и t опирается на действия, которые в общих чертах можно представить следующим образом: при данной матрице весов дуг A[u, v], u, v Î V, вычисляются некоторые верхние ограничения D[v] на расстояния от s до всех вершин v ÎV. Каждый раз, когда мы устанавливаем, что D[u] + A[u, v] < D[v], оценку D[v] улучшаем: D[v] = D[u] + A[u, v].

Процесс прерывается, когда дальнейшее улучшение ни одного из ограничений невозможно.

Легко можно показать, что значение каждой из переменных D[v] равно тогда d (s, v) - расстоянию от s до v.

Заметим, что для того чтобы определить расстояние от s до t, мы вычисляем здесь расстояния от s до всех вершин графа.

Не известен ни один алгоритм нахождения расстояния между двумя фиксированными вершинами, который был бы существенным образом более эффективным, нежели известные алгоритмы определения расстояния от фиксированной вершины до всех остальных.

Описанная общая схема является неполной, так как она не определяет очередности, в которой выбираются вершины u и v для проверки условия минимальности расстояния. Эта очередности, как будет показано ниже, очень сильно влияет на эффективность алгоритма. Опишем теперь более детально методы нахождения расстояния от фиксированной вершины, называемой источником, его всегда будем обозначать через s, до всех остальных вершин графа.

Сначала представим алгоритм для общего случая, в котором предполагается только отсутствие контуров с отрицательной длиной. С эти алгоритмом обычно связывают имена Л.Р. Форда и Р.Е. Беллмана.

3. Программа определения кратчайшего пути в графе

3.1. Язык программирования Delphi.

Delphi - язык и среда программирования, относящаяся к классу RAD- (Rapid Application Development ‑ «Средство быстрой разработки приложений») средств CASE - технологии. Delphi сделала разработку мощных приложений Windows быстрым процессом, доставляющим вам удовольствие. Приложения Windows, для создания которых требовалось большое количество человеческих усилий например в С++, теперь могут быть написаны одним человеком, использующим Delphi.

Интерфейс Windows обеспечивает полное перенесение CASE-технологий в интегрированную систему поддержки работ по созданию прикладной системы на всех фазах жизненного цикла работы и проектирования системы.

Delphi обладает широким набором возможностей, начиная от проектировщика форм и кончая поддержкой всех форматов популярных баз данных. Среда устраняет необходимость программировать такие компоненты Windows общего назначения, как метки, пиктограммы и даже диалоговые панели. Работая в Windows , вы неоднократно видели одинаковые «объекты» во многих разнообразных приложениях. Диалоговые панели (например Choose File и Save File) являются примерами многократно используемых компонентов, встроенных непосредственно в Delphi, который позволяет приспособить эти компоненты к имеющийся задаче, чтобы они работали именно так, как требуется создаваемому приложению. Также здесь имеются предварительно определенные визуальные и не визуальные объекты, включая кнопки, объекты с данными, меню и уже построенные диалоговые панели. С помощью этих объектов можно, например, обеспечить ввод данных просто несколькими нажатиями кнопок мыши, не прибегая к программированию. Это наглядная реализация применений CASE-технологий в современном программировании приложений. Та часть, которая непосредственно связана с программированием интерфейса пользователя системой получила название визуальное программирование

Визуальное программирование как бы добавляет новое измерение при создании создании приложений, давая возможность изображать эти объекты на экране монитора до выполнения самой программы. Без визуального программирования процесс отображения требует написания фрагмента кода, создающего и настающего объект «по месту». Увидеть закодированные объекты было возможно только в ходе исполнения программы. При таком подходе достижение того, чтобы объекты выглядели и вели себя заданным образом, становится утомительным процессом, который требует неоднократных исправлений программного кода с последующей прогонкой программы и наблюдения за тем, что в итоге получилось.

Благодаря средствам визуальной разработки можно работать с объектами, держа их перед глазами и получая результаты практически сразу. Способность видеть объекты такими, какими они появляются в ходе исполнения программы, снимает необходимость проведения множества операций вручную, что характерно для работы в среде не обладающей визуальными средствами — вне зависимости от того, является она объектно-ориентированной или нет. После того, как объект помещен в форму среды визуального программирования, все его атрибуты сразу отображаются в виде кода, который соответствует объекту как единице, исполняемой в ходе работы программы.

Размещение объектов в Delphi связано с более тесными отношениями между объектами и реальным программным кодом. Объекты помещаются в вашу форму, при этом код, отвечающий объектам, автоматически записывается в исходный файл. Этот код компилируется, обеспечивая существенно более высокую производительность, чем визуальная среда, которая интерпретирует информацию лишь в ходе исполнения программы.

3.2. Программа «Определение кратчайшего пути в графе»

Программа «Определение кратчайшего пути в графе» разработана в среде «Delphi», работает под ОС «Windows»-95,98,2000,NT.

Программа позволяет вводить, редактировать, сохранять графы в файл, загружать из файла. Также реализован алгоритм нахождения кратчайшего пути.

Интерфейс программы имеет следующий вид:

Верхняя панель кнопок предназначена для редактирования графа.

Кнопка «Загрузить» предназначена для загрузки ранее сохраненного графа из файла.

Кнопка «Сохранить» предназначена для сохранения графа в файл.

Кнопка «Переместить» предназначена для перемещения вершин графа.

Кнопка «Удалить» предназначена для удаления вершин графа.

При нажатии на кнопку «Новый» рабочее поле программы будет очищено и появится возможность ввода нового графа.

Кнопка «Помощь» вызывает помощь программы.

Для очистки результатов работы алгоритма определения кратчайшего пути в графе необходимо нажать кнопку «Обновить» .